银川能源学院《高等数学》救亲 第三章徽分中值定理与导数的应用 或 f=f0+fox+0++00m+dm, 其中R,(=fa且rH. n+I)！ 由此得近似公式： 0+/0+/9++on. 误差估计式变为： wa的. 例1.写出函数fx)=e的n阶麦克劳林公式. 解：因为fx)f'(xf"x…fx)e, 所以0)=f(0)=f"(0)=…=∫”0)=1， 于是 et++…+r4n0en 并有 这时所产性的误差为 R奇水x 当x=1时，可得e的近似式：e*l+l+++ 2 n 其误差为R水mnm 3 例2.求x)=sinx的n阶麦克劳林公式. 解：因为 f'(x)=cosx,f"(x)=-sinx,f""(x)=-cosx, )=sinx,..(x)=sin(x+n.), f0)=0,f"(0)=1,f"(0)=0,f"(0)-1,40)=0,… 于是 sm=+时4一尼国. 当m=1、2、3时，有近似公式 snx,snx*x,snxx+。 第7页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 7 页 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x           其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( )     n n n x n f R x   由此得近似公式 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2          误差估计式变为 1 | | ( 1)! | ( )|    n n x n M R x  例 1．写出函数 f(x)e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f(x)f (x)f (x)    f ( n) (x)e x  所以 f(0)f (0)f (0)    f ( n) (0)1  于是 2 1 ! ( 1)! 1 2! 1 1          n x x n x n e x n e x x  (0<) 并有 x n x n e x x ! 1 2! 1 1  2   这时所产性的误差为 |R n(x)|| (n1)! e x x n1 |< ( 1)! | | n e x | x | n1  当 x1 时 可得 e 的近似式 ! 1 2! 1 1 1 n e x        其误差为 |R n |< ( 1)! 3 ( 1)!   n n e  例 2．求 f(x)sin x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f (x)cos x  f (x)sinx  f (x) cos x  f (x) sin x (4)       ) 2 ( ) sin( ( )  f x  xn n  f (0)0 f (0)1 f (0)0  f (0)1 f ( 4)(0)0    于是 ( ) (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 sin 2 2 1 1 3 5 x R x m x x x x m m m           当 m1、2、3 时 有近似公式 sin xx 3 3! 1 sin x x x  3 5 5! 1 3! 1 sin x x x  x 