银川能源学院《高等数学》教亲 第三章徽分中值定理与导数的应用 于是就有 p.x)-Rxop+f(x)(x-x)+j(-()(-x)". 泰勒中值定理如果函数x)在含有xo的某个开区间(a,b)内具有直到 n+l)的阶导数，则当x在(a,b)内时，x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式 与一个余项Rx)之和： f闭=f)+f6Xx-+xX-xy++m(Xx-xr+R(倒 其中R2-(G介于。与x之间 这里 多项式 p.()=x)+f(xXx-x)+jM(Xx-x+..+Xx-x. 称为函数x)按-和)的幂展开的n次近似多项式，公式 f国=Hf-)+f-P++X-P+R, 称为x)按(x-o)的幂展开的n阶泰勒公式，而Rm(x)的表达式 其中风=2-6(5价于x与6之间 称为拉格朗日型余项。 当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式： x)=xo)+f'(x-xo)(在x0与x之间). 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时，f+(x)川总不超过一 个常数M,则有估计式： k=a9-Ps- (n+1)！ 及 思0 可见，妆x→xo时，误差R(x)是比(x-0)”高阶的无穷小，即 Rn (x)=o[(x-xo)"]. 在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成 fx)-f(x)+M(x)x-x)+jMGo)x-x +jGXs-xr+d(-x). 当0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是 f=0+f0x+f'g0x2++fo0"+R., 21 第6页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 6 页 于是就有 pn(x) f(x0) f (x0) (xx0) ( ) 2! 1 0  f  x (xx0) 2    ( ) ! 1 0 ( ) f x n  n (xx0) n  泰勒中值定理 如果函数 f(x)在含有 x0 的某个开区间(a b)内具有直到 (n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0 )的一个 n 次多项式 与一个余项 R n(x)之和 ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n             其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x0 与 x 之间) 这里 多项式 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( )  0   0  0   0  0      称为函数 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 次近似多项式 公式 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  称为 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日型余项 当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0 )f ()(xx0 ) (在 x0 与 x 之间) 因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时 |f (n1)(x)|总不超过一 个常数 M 则有估计式 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x   及 0 ( ) lim 0 ( ) 0    n n x x x x x R  可见 妆 x x0 时 误差|R n(x)|是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 即 R n (x)o[(xx0 ) n ] 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) [( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n      当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n          