银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 第二节泰勒公式 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来 近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘 三种运算，便能求出它的函数值，因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： e'≈l+x,ln(1+x)≈x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在 着不足之处：首先是精确度不高，这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小： 其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度 要求较高且需要估计误差时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时 给出误差公式。 设函数fx)在含有xo的开区间内具有直到(+1)阶导数，现在我们希望做 的是：找出一个关于(x-0)的n次多项式 Pn(x)=ao+ai(x-xo)+a2(x-xo)2+...+an(x-xo)" 来近似表达x),要求px)与x)之差是比(x-xo)”高阶的无穷小，并给出误 差fx)-pn(x)的具体表达式. 我们自然希望p(x)与x)在o的各阶导数（直到(+1）阶导数)相等，这样 就有 pnx=aota1(r-0Ha2x-xo)2+·+anx-x0)”, p(x)=a+2az(x-xo)+..+nan(x-xo)"1, pn"x-2a2+3-2a30-0)+…+n(m-l)an-0)-2, pm”"(x3la3+4-3-2a4-0）+…+n(n-l)n-2)anK-0)m3, pn((x)=n!an. 于是 pn(xo)=ao,pn'(xo=a1,pn"(xo)=2!a2,pn""(x=3la3,....Pn (m)(x)=n!an. 按要求有 Axo)=pn(xo)=ao,f'(xo)=pn(xo)=a1,f"(xo)=pn"(xo)=2!a2,f""(xo) pn"(x上31a3, fm(xo)卢)=nlan. 从而有 ao-Ao)afo),)() a=府)k=0,12m 第5页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 5 页 第二节 泰勒公式 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来 近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘 三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当|x|很小时 有如下的近似等式 e x 1x ln(1x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在 着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度 要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时 给出误差公式 设函数 f(x)在含有 x0 的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做 的是 找出一个关于(xx0 )的 n 次多项式 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2      a n (xx0 ) n 来近似表达 f(x) 要求 p n(x)与 f(x)之差是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 并给出误 差| f (x) p n (x)|的具体表达式 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样 就有 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2     a n (xx0 ) n  p n(x) a 12 a 2(xx0 )    na n (xx0 ) n1  p n(x) 2 a 2  32a 3(xx0 )     n (n1)a n (xx0 ) n2  p n(x) 3!a 3 432a 4(xx0 )     n (n1)(n2)a n (xx0 ) n3         p n (n) (x)n! a n  于是 pn (x0 )a 0  p n (x0 ) a 1  p n (x0 ) 2! a 2  p n (x) 3!a 3      p n (n) (x)n! a n 按要求有 f(x0)p n(x0) a0 f (x0) p n (x0) a 1  f (x0) p n (x0) 2! a 2  f (x0) p n (x0) 3!a 3        f (n) (x0) p n (n) (x0)n! a n  从而有 a 0f(x0 ) a 1f (x0 ) ( ) 2! 1 2 0 a  f  x      ( ) 3! 1 3 0 a  f  x  ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n   ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0 1 2    n)