张量定义及其代数运算 谢锡麟 3.首先对u1,…,un;v1,…,vg;1,…,tr∈Rm,有 囤重⑧业)6 =匝⑧业(u1,……,wp,v1,……,v引e(u1,…,t 更u1,……,up)业(v1,…,vq)(t,…,tr) 同理可有 更⑧6)1,…,up,v1,…,tg,1,…,tr 更(vu1 0( 142张量的e点积 定义1.6(张量的e点积).对Ⅴφ∈P(Rm),V业∈q(Rm),且e≤min{p,q},可定义 9P(R")x3(Rm)3虾口更(.)业∈叶q2(g) 式中 会中( y(g31 特别地,e=1时称为张量的“点积”,记作更亚;e=2时称为张量的“二点积”,记作更:重 性质1.4(张量的e点积的表示).对Vφ∈哪(m),V重∈(Rm),它们的e点积 e≤min{p,q}),可有表达形式 (业= 8…891n。89+1…⑧ =四-1…s+-2918…89n891+18…g1∈P+9-2(Rm) 证明设更=g18…91n业=的…918…⑧g,则 更 y 9 更( 9 9。)y(g tz =14…p-s-3…更p( 所以有 更()v=更1”p- 8…gn⑧9+1…⑧ 9t1 x+11918…③gn-②g+1…g3 )9g18…gn-②g+8……②g 8…8g;8ge+⑧…⑧张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 3. 首先对 ∀u1, · · · ,up; v1, · · · , vq; w1, · · · , wr ∈ R m, 有 (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq, w1, · · · , wr) = [Φ ⊗ Ψ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq)] Θ(w1, · · · , wr) = Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq)Θ(w1, · · · , wr). 同理可有 Φ ⊗ (Ψ ⊗ Θ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq, w1, · · · , wr) = Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq)Θ(w1, · · · , wr). 1.4.2 张量的 e 点积 定义 1.6 (张量的 e 点积). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), ∀ Ψ ∈ T q (R m), 且 e 6 min{p, q}, 可定义 (e · ) : T p (R m) × T q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ (e · ) Ψ ∈ T p+q−2e (R m), 式中 Φ (e · ) Ψ(u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq) , Φ(u1, · · · ,up−e, gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , ve+1, · · · , vq). 特别地, e = 1 时称为张量的 “点积”, 记作 Φ · Ψ; e = 2 时称为张量的 “二点积”, 记作 Φ : Ψ. 性质 1.4 (张量的 e 点积的表示). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), ∀ Ψ ∈ T q (R m), 它们的 e 点积 (e 6 min{p, q}), 可有表达形式: Φ (e · ) Ψ = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−es1···seΨs1···seje+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq ∈ T p+q−2e (R m). 证明 设 Φ = Φ i1···ip gi1 ⊗ · · · ⊗ gip , Ψ = Ψj1···jq g j1 ⊗ · · · ⊗ g jq , 则 Φ (e · ) Ψ(u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq) = Φ(u1, · · · ,up−e, gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , ve+1, · · · , vq) = Φ(u1,i1 g i1 , · · · , up−e,ip−e g ip−e , gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , v je+1 e+1 gje+1 , · · · , v jq q gjq ) = u1,i1 · · · up−e,ip−e v je+1 e+1 · · · v jq q Φ(g i1 , · · · , g ip−e , gs1 , · · · , gse ) · Ψ(g s1 , · · · , g se , gje+1 , · · · , gjq ) = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq (u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq). 所以有 Φ (e · ) Ψ = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = gt1s1 · · · gteseΦ i1···ip−et1···teΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−et1···te (gt1s1 · · · gteseΨ s1···se je+1···jq )gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−et1···teΨt1···teje+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq . 7