张量定义及其代数运算 谢锡麟 为说明更⑧业∈P(Rm),可按定义计算 (更②业)(u1,…,au;+Bu,……,up,v1,…,℃q) 垒更(u1,…,a1+Bun,…,up)y( ,up)业(v1,…,q)+更( =a(更⑧业)(1, +B(中⑧重)( 上述过程表明更⑧业对第i个变元(1≤i≤p)具有线性性.同理对1≤j≤q也可有 匝⑧重)(u1,……,up,1,…avj+Bj,……,vg) a(⑧业)( +B(⑧业)(u1,…,tp,U1 故有更⑧业∈丌Pq(Rm 性质1.3(张量积性质).张量积具有如下基本性质 1.对重,业∈丌P(Rm);Ve∈(Rm), (a+所)日=⑧日+8日∈(Rm); 2.对V更∈P(Rm);业,白∈(Rm 更⑧(a+B)=哑⑧业+匝8日∈P(Rm); 3对V∈(Rm),业∈(Rm),日∈(Rm) 更⑧业)日=更⑧业。日)=:重业⑧日∈求Pq(Rm) 证明基于张量的定义,易于证明张量积的基本性质 对V Rm,可有 (a重+)61,…,p p)+y( e(v1,…,vq) =唾重6(u1,……,thn,v1,…,vq)+8e(v1, (a6+P必日)(u1 2.此性质亦可用类似(1)中方法证明张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 为说明 Φ ⊗ Ψ ∈ T p+q (R m), 可按定义计算 (Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · , αu˜i + βuˆi , · · · ,up, v1, · · · , vq) , Φ(u1, · · · , αu˜i + βuˆi , · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq) = αΦ(u1, · · · ,u˜i , · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq) + βΦ(u1, · · · ,uˆi , · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq) = α(Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,u˜i , · · · ,up, v1, · · · , vq) + β(Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,uˆi , · · · ,up, v1, · · · , vq). 上述过程表明 Φ ⊗ Ψ 对第 i 个变元 (1 6 i 6 p) 具有线性性. 同理对 1 6 j 6 q 也可有 (Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,up, v1, · · · αv˜j + βvˆj , · · · , , vq) = α(Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , v˜j , · · · , vq) + β(Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , vˆj , · · · , vq). 故有 Φ ⊗ Ψ ∈ T p+q (R m). 性质 1.3 (张量积性质). 张量积具有如下基本性质: 1. 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T p (R m); ∀ Θ ∈ T q (R m), (αΦ + βΨ) ⊗ Θ = αΦ ⊗ Θ + βΨ ⊗ Θ ∈ T p+q (R m); 2. 对 ∀ Φ ∈ T p (R m); ∀ Ψ, Θ ∈ T q (R m), Φ ⊗ (αΨ + βΘ) = αΦ ⊗ Ψ + βΦ ⊗ Θ ∈ T p+q (R m); 3. 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), Ψ ∈ T q (R m), Θ ∈ T r (R m), (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ = Φ ⊗ (Ψ ⊗ Θ) =: Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ ∈ T p+q+r (R m). 证明 基于张量的定义, 易于证明张量积的基本性质. 1. 对 ∀u1, · · · ,up; v1, · · · , vq ∈ R m, 可有 (αΦ + βΨ) ⊗ Θ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq) , (αΦ + βΨ)(u1, · · · ,up)Θ(v1, · · · , vq) = [αΦ(u1, · · · ,up) + βΨ(u1, · · · ,up)] Θ(v1, · · · , vq) = αΦ ⊗ Θ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq) + βΨ ⊗ Θ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq) = (αΦ ⊗ Θ + βΨ ⊗ Θ) (u1, · · · ,up, v1, · · · , vq). 2. 此性质亦可用类似 (1) 中方法证明. 6