张量定义及其代数运算 谢锡麟 称为张量的逆变分量(所有指标为逆变指标),仅有一个;称更1-为张量的协变分量 (所有指标为协变指标),仅有一个;称"等形式为张量的混合分量(同时含有协变和逆 变指标),共有2P-2个 定义1.4(度量张量).二阶张量G∈2(Rm)具有形式 G=9j928g3=99189=0g1g=6g8g; 称G为度量张量 在此定义中,将G定义为其中一种形式便可推出其他形式,如G全9g2∞g,可有 G=(99)8g=9;g1=6938g 9(9"9p)8(y"g)=(9ygy)gp89=(6ygp89g=gn8 可见,度量张量的两种混合分量都是 Kronecker符号,故度量张量实际也为单位仿射量r全 6;9;⑧g3,故本书不单独定义或使用单位仿射量的称 按??节(第??页)所述,度量张量的分量实现了向量协变分量及逆变分量之间的指标升降游 戏.对于张量的协变分量、逆变分量以及混合分量亦可通过度量张量分量实现指标升降.例如 的2-会更(g2,92913…,9n)=更(0gp,9n9,91,…,9n) gp920(9p,92,93 另一方面,相对于不同基的张量分量之间仍成立指标转换游戏例如 )(0(3)-(n)西(),9(a1,961y…,9(n) 2)92,((2)9 9 Cm更(g1, =CAC2C…Cn-方 14基本代数运算 张量的基本代数运算,包括张量积/张量并、e点积(特殊形式包括全点积),并且这些代数 运算都可获得其整体表示 1.4.1张量积 定义15(张量积).对φ∈丌P(Rm),业∈(Rm),可定义 ⑧:(R)x(Rm)便重业}更业∈少P+(Rm 式中 更⑧)(u1,…,up,v1,…,v)全更u1,…,u)(张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 称 Φ i1···ip 为张量的逆变分量 (所有指标为逆变指标), 仅有一个；称 Φi1···ip 为张量的协变分量 (所有指标为协变指标), 仅有一个；称 Φ i1 · · i2 i3···ip 等形式为张量的混合分量 (同时含有协变和逆 变指标), 共有 2 p − 2 个. 定义 1.4 (度量张量). 二阶张量 G ∈ T 2 (R m) 具有形式: G = gijg i ⊗ g j = g ijgi ⊗ gj = δ i jgi ⊗ g j = δ i jg j ⊗ gi , 称 G 为度量张量. 在此定义中, 将 G 定义为其中一种形式便可推出其他形式, 如 G , gijg i ⊗ g j , 可有 G = (gijg i ) ⊗ g j = gj ⊗ g j = δ j i gj ⊗ g i = gij (g ipgp ) ⊗ (g jqgq ) = (gijg ipg jq)gp ⊗ gq = (δ p j g jq)gp ⊗ gq = g pqgp ⊗ gq . 可见, 度量张量的两种混合分量都是 Kronecker 符号, 故度量张量实际也为单位仿射量I , δ i j gi ⊗ g j , 故本书不单独定义或使用单位仿射量的称法. 按??节 (第??页) 所述, 度量张量的分量实现了向量协变分量及逆变分量之间的指标升降游 戏. 对于张量的协变分量、逆变分量以及混合分量亦可通过度量张量分量实现指标升降. 例如 Φ i1 · i2i3···ip , Φ(g i1 , gi2 , gi3 , · · · , gip ) = Φ(g i1p gp , gi2qg q , gi3 , · · · , gip ) = g i1p gi2qΦ(gp , g q , gi3 , · · · , gip ) = g i1p gi2qΦ · p q · i3···ip . 另一方面, 相对于不同基的张量分量之间仍成立指标转换游戏. 例如 Φ (i1) · (i2)(i3)···(ip) , Φ(g (i1) , g(i2) , g(i3) , · · · , g(ip) ) = Φ(C (i1) j1 g j1 , Cj2 (i2) gj2 , Cj3 (i3) gj3 , · · · , Cjp (ip) gjp ) = C (i1) j1 C j2 (i2) C j3 (i3) · · · C jp (ip)Φ(g j1 , gj2 , gj3 , · · · , gjp ) = C (i1) j1 C j2 (i2) C j3 (i3) · · · C jp (ip) Φ j1 · j2j3···jp . 1.4 基本代数运算 张量的基本代数运算，包括张量积/张量并、e 点积 (特殊形式包括全点积), 并且这些代数 运算都可获得其整体表示. 1.4.1 张量积 定义 1.5 (张量积). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), Ψ ∈ T q (R m), 可定义 ⊗ : T p (R m) × T q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ ⊗ Ψ ∈ T p+q (R m), 式中 (Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq) , Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq). 5