《线性代数》第三章习愿解答 0101 0101 a4=[2,1,-1,0 -30-25+3新1001 R 解 令A=a,a:aa小，对A作初等行变换，得到： 0 -131-125+13折0011 [41127 「67-301「67-30 0 000 0000 -1-3215-25-1-321 -1-321 =B -541-5+5-6-730 0000 故RA)=RB=3.a,凸，a,线性相关。 -6-730 6-7300000 且由B可知，心，=+C42+ R(A=R(B=2,向量组的秩为2，么，是一个极大无关组. (3)4=[3,-1,24=[1,5-7,a3=[7,-13,20. (2)4=[1,0,0,0,=[3,0,0,0,a=[01,0,0, 解：令A=【a,%,a],解方程组AX=0,其中X=x,X2,X]了，对系数矩阵A作初等行 4=0,01, 变换得到： 解：么，山2线性相关，.4，心，么3，心线性相关。而以，心心线性无关.向量 组的秩是3.4，，a,是一个极大无关组. 「3171 「016-3215「01-21 =-15-13+3 -15-13kr1-513 8a=[0,,%=21,0,%=01,旷a=,1 27205+240361xl61-2 解：令A=[4,乌，心，a],对A作初等行变换，得到 「1201 「12011 A=01II5-40111=B 5-5000] 10110-210 显然RMA=RB=3.向量组的秩是3，并且4，，a,是向量组的一个极大无关组。 由B得同解方程组名=-3X,取x3=1,得X=[-3,2,,名2=2X -30+6+4=0,4=34-20,4,,a,a线性相关. (3)4=[1,23,4,2=[234,5,4=[3,4,5,6, a4=[4,5,6,7 4)4=[1,21,%2=112,-1,4=[34,5, 解：令A=[,a2,,a],对A作初等行变换，得到： 「1234 「1234] 「12341 解：令A=4,么，a】对A作初等行变换得到： 24-2012-3 0123 4= 「113] 「1131 5456-0-242600008 -2 45675-0-3-6-90000 A= i5-2137 0-1-25+50-1 =B 0125-2000 显然RA=R(B=2.。向量组的秩是2，并且a,a2是一个极大无关组。 -11-0-2-2 1002 9.投向量组白，42,4线性无关，阝=4++4，证明： ,RA=R(B=3,∴a,a2,线性无关. ()当=0时，%，心2，B线性相关： 8.求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (2)当入≠0时，4,2，B线性无关 04=4-l,-5,-6,%=1-34,-7,4=1,2,13 证明：(1)当元=0时，B=%+4,∴4,2，B线性相关， (3)当方≠0时，设有常数，2，x,使《线性代数》第三章习题解答 -3- 2 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 0 2 1 0 0 1 3 0 13 1 12 0 0 1 1 13 0 0 0 0 0 0 0 0 r r B r r         − − + → =         − − +         故 R(A)=R(B)=3. 1 2 3 4     , , , 线性相关。 且由 4 1 2 3 B可知，    = + + . (3) 1 2 3 3, 1,2 , 1,5, 7 , 7, 13,20 .      T T T    = − = − = − 解： 令 A =    1 2 3 , , , 解方程组 AX=0，其中 X=  1 2 3 , ,  T    ,对系数矩阵 A 作初等行 变换得到： 1 2 3 1 2 1 16 1 3 2 2 3 1 7 0 16 32 0 1 2 3 1 5 13 1 5 13 1 5 13 2 2 7 20 0 3 6 0 1 2 1 r r r A r r r r       − − +       = − − − − −       +             − − − −  2 1 3 1 0 1 2 5 1 0 3 0 0 0 r r B r r   − +   = −       由 B 得同解方程组 1 3 3 2 3 3 , 1 , 3,2,1 , 2   T      = − = = − = 取 得X − + + = = − 3 0, 3 2       1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 4     , , , 线性相关。 (4) 1 2 3 1,2,1,1 , 1,1,2, 1 , 3,4,5,1 .      T T T    = = − = 解：令 A =    1 2 3 , , , 对 A 作初等行变换得到： 2 1 3 2 3 1 4 2 4 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 2 1 4 0 1 2 0 1 2 1 2 5 0 1 2 0 0 0 2 1 1 1 0 2 2 0 0 2 r r r r A r r B r r r r       −       − − − − + = − =             −       −       − − − ∴R(A)=R(B)=3 , 1 2 3    , , 线性无关。 8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (1) 1 2 3 4, 1, 5, 6 , 1, 3, 4, 7 , 1,2,1,3 ,      T T T    = − − − = − − − = 4 2,1, 1,0 T  = − 解 ： 令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作 初 等 行 变 换 ， 得 到 ： 1 2 3 2 4 1 1 2 6 7 3 0 6 7 3 0 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 5 4 1 1 6 7 3 0 0 0 0 0 6 7 3 0 6 7 3 0 0 0 0 0 r r A B r r       − −       − − − − − − − = → =             − − − − − +             − − − ∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为 2, 1 2  , 是一个极大无关组。 (2) 1 2 3 1,0,0,0 , 3,0,0,0 , 0,1,0,0 ,      T T T    = = = 4 0,0,1,1 .  T  = 解： 1 2  , 线性相关， 1 2 3 4     , , , 线性相关。而 1 3 4    , , 线性无关。∴向量 组的秩是 3。 1 3 4    , , 是一个极大无关组。 (3) 1 2 3 4 1,0,1 , 2,1,0 , 0,1,1 , 1,1,1        T T T T     = = = = 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 3 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 1 0 A r r B         = − =             − 显然 R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是 3,并且 1 2 3    , , 是向量组的一个极大无关组。 (3) 1 2 3 1,2,3,4 , 2,3,4,5 , 3,4,5,6 ,      T T T    = = = 4 4,5,6,7 .  T  = 解 ： 令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 2 1 3 1 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 3 3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0 4 4 5 6 7 0 3 6 9 0 0 0 0 r r A r r B r r       −       − − − = − → =             − − −       −       − − − 显然 R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是 2 , 并且 1 2  , 是一个极大无关组。 9. 设向量组 1 2 3    , , 线性无关，       = + + 1 1 2 2 3 3 ，证明： (1) 当 3 = 0 时， 1 2    , , 线性相关； (2) 当 3  0 时， 1 2    , , 线性无关 证明： (1)当 3 = 0 时，     = + 1 1 2 2 ， 1 2    , , 线性相关。 (3) 当 3  0 时，设有常数 1 2 3 x x x , , ，使