《线性代数》第三章习愿解答 (3)B=[12,34,a=[l,1,2,2,a2=[1,0,0,0 k+k(a1+凸)+k(a+色2+4)=0 43=[-1,-2,-2,-2],44=[2,0,0,0 即(k+k2+k34+(k1+k)a2+k必1=0 解：设B=X么+X心+龙43+X,心，对该方程组的增广矩阵作初等 行变 4,,a线性无关，k+k3+k=0, 换得到： k+k=0, 「11-1217 「0112-17 k3=0, 万-5 1- 10-202 10-202 :系数行列式 5-2 20=203 00201 11 20-204 4-200200 4=011=1≠0，：上方程组只有零解 「0112-17 00 10-202 =B k=k=k=0,从而向量组4,4+必，4++4线性无关. 4-00201 7,判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可 0000-1 由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 因阶梯形矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 (1a=1,-2,4,8,=1,39,27, B不能由a以，，4，a,线性表示 43=[1,4,1664,&=[1,-1,l,- 4B=[5,-2,-2,0,%=[1,1,2,3,42=[1,2,-3, 解：以a,乌2，，a为列向量作矩阵A=[4,C乌2,4，心]，作初等行变换得到： 4=[1,-l,-l,2a4=[1,4,-5,1. [1111 「1111] 「0561] 解：设B=X1+X2凸2+X3+Xa:,对该方程组的增广矩阵作初等变换得到 -234-1 5+ -1450 A= -1450+5 「11115]「10001] 49161 5-385o+ 020300 12-14-2 01002 -82764-1+-728650-7@00300 2-3-1-5-2 →00103 显然R()=4,向量a4,2,4,心线性无关 312110」0001-1 ②)a4=-210,342=[1-324, =1,32=2,3=3,x4=-1,B=4+2%+33-4 a4=[3,0,2.-l,a=[2,-2,4,6 5.证明：如果n维单位坐标向量组6,62，…，6n可由n维向量组4，乌，"，线性表 解：令A=[凸，，心，心对A作初等行变换，得到： 示，则向量组4，凸，…，a,线性相关. 「-21327 「0-5 3 -2 To 34 0 34 证：向量组a,乌，，a也可由6,6，，6线性表示 0 5+2r .向量组%，a2,…,gn与向量组6,52，，6n等价，所以向量组a,乌2，…，心n的秩为n, M= 1-30-25+251-3 -2 0 0224-302 2 5+3r 0 28 0 28 所以线性无关。 34-16 013 -1 12 13 -1 12 6.若向量组，2，3线性无关，证明：向量组，么+心2,+乌+也线性无 关 证：设有常数k,k2,k,使 《线性代数》第三章习题解答 -2- (3) 1,2,3,4 , 1,1,2,2 , 1,0,0,0 ,  1 2     T T T    = = = 3 4  1, 2, 2, 2 , 2,0,0,0 .    T T   = − − − − = 解: 设          = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等 行变 换得到： 1 2 3 2 4 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2 2 2 0 2 0 3 0 0 2 0 1 2 2 0 2 0 4 0 0 2 0 0 r r A r r r r     − − −     − − = −         −     −     − 4 3 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 r r B   −   − − =         − 因阶梯形矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1 2 3 4      不能由 线性表示 , , , . (4) 5, 2, 2,0 , 1,1,2,3 , 1,2, 3,1 ,  1 2     T T T    = − − = = − 3 4 1, 1, 1,2 , 1,4, 5,11 .    T T   = − − = − 解： 设          = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 1 1 1 1 5 1 0 0 0 1 1 2 1 4 2 0 1 0 0 2 2 3 1 5 2 0 0 1 0 3 3 1 2 11 0 0 0 0 1 1 A         − − = →         − − − −         −  = = = = − = + + − x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1, 2 , 3, 1, 2 3      5. 证明： 如果 n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n    可由 n 维向量组 1 2 , , ,   n 线性表 示，则向量组 1 2 , , ,   n 线性相关。 证： 1 2 1 2 , , , , , , 向量组 也可由 线性表示       n n ,  向量组 1 2 , , ,   n 与向量组 1 2 , , , n    等价，所以向量组 1 2 , , ,   n 的秩为 n， 所以线性无关。 6. 若向量组 1 2 3    , , 线性无关，证明：向量组 1 1 2 1 2 3       , , + + + 也线性无 关。 证： 设有常数 1 2 3 k k k , , , 使 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 , , 0, 0, 0, 1 1 1 0 1 1 1 0, . 0 0 1 k k k k k k k k k k k k k k k             + + + + + = + + + + + =  + + = + = =  = =   即 线性无关， 系数行列式 上方程组只有零解 k k k 1 2 3 1 1 2 1 2 3 = = = + + + 0, , , 从而向量组 线性无关.       7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可 由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) 1 2 1, 2,4,8 , 1,3,9,27 ,    T T   = − = 3 4 1,4,16,64 , 1, 1,1, 1 .    T T   = = − − 解：以 1 2 3 4     , , , 为列向量作矩阵 A =     1 2 3 4 , , , , 作初等行变换得到： 2 1 1 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 6 1 2 3 4 1 1 4 5 0 1 4 5 0 3 4 9 16 1 3 8 15 0 0 20 30 0 7 8 27 64 1 7 28 65 0 0 0 30 0 r r r r A r r r r r r r r       + +       − − − − = − +                   + −       − − − 显然 1 2 3 4 R A( ) 4, , , , = 向量 线性无关.     (2) 1 2  2,1,0,3 , 1, 3,2,4 ,    T T   = − = − 3 4 3,0,2, 1 , 2, 2,4,6 .    T T   = − = − 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 1 2 3 4 4 2 1 3 2 1 3 2 0 5 3 2 0 34 0 34 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 2 4 3 0 2 2 4 3 0 28 0 28 3 4 1 6 0 13 1 12 0 13 1 12 r r r r A r r r r       − − −       − − − − − − + + =             − +             − − −