第0章遵与开关65 下载 F+F=F 母猫和母猫的并集仍是母猫这个集合 布尔代数为解决亚里士多德的三段论提供了一个数学方法。再看看这个著名三段论的两 个前提: 所有的人都是要死的 苏格拉底是人。 我们用字母P代表所有人的集合,M代表要死的东西的集合,S代表苏格拉底。那么,所 谓“所有的人都是要死的”意味着什么呢?它其实表示了所有人的集合和所有要死的东西的 集合的交集是所有的人这个集合,即 而P×M=M这个式子是错误的,因为要死的东西还包括猫、狗、榆树等等。 而“苏格拉底是人”意味着苏格拉底这个集合(非常小)和所有人的集合(很大)的交 集是苏格拉底这个集合 S×P=S 由于从第一个式子中知道P=PXM,所以可以把它代入第二个式子,即: S×(P×M)=S 根据结合律,上式等同于 (S×P)×M=S 但我们已经知道S×P等于S,所以上式可简化为: SXM=S 现在计算完毕。这个表达式告诉我们,苏格拉底和所有要死东西的集合的交集是苏格拉 底,也就是说苏格拉底是要死的。相反,如果认为S×M等于0,那么结论就是苏格拉底不会 死。再如果,若S×M等于M,则能推出的结论就是苏格拉底是唯一会死去的东西,而其他任 何东西都是不朽的! 用布尔代数来证明显而易见的事实似乎有些小题大做(尤其当考虑到苏格拉底早已在 2400年以前就去世了时),不过,布尔代数还可以用来判断一些事物是否满足一定的标准。也 许有一天,你走进宠物店对店员说:“我想要一只阄过的公猫,白的或黄褐色的均可:或者要 只没有生殖能力的母猫,除了白色,其他任何颜色均可:或者只要是只黑猫,我也要。”店 员对你说:“看来您想要的猫是下面的式子表示的集合中的一只 (M×N×(W+T))+(F×N×(1-W))+B 对吗?”你回答道:“是的,完全正确!” 为了证明店员是正确的,你可能想放弃并和交的概念而转向“OR(或者/或)”和“AND (并且/与)”。大写这两个词是因为虽然在通常情况下它们代表语言中的概念,但它们也代表 了布尔代数中的操作。当求两个集合的并集时,你实际上是从第一个集合“或”从第二个集 合中取得事物放入结果集合里。当求两个集合的交集时,满足条件的事物必定在第一个集合 中“并且”也在第二个集合中。此外,每当你看见后跟减号的1,你可以使用单词“NOT(非)”F + F = F 母猫和母猫的并集仍是母猫这个集合。 布尔代数为解决亚里士多德的三段论提供了一个数学方法。再看看这个著名三段论的两 个前提： 所有的人都是要死的； 苏格拉底是人。 我们用字母P代表所有人的集合， M代表要死的东西的集合， S代表苏格拉底。那么，所 谓“所有的人都是要死的”意味着什么呢？它其实表示了所有人的集合和所有要死的东西的 集合的交集是所有的人这个集合，即： P×M = P 而 P×M = M 这个式子是错误的，因为要死的东西还包括猫、狗、榆树等等。 而“苏格拉底是人”意味着苏格拉底这个集合（非常小）和所有人的集合（很大）的交 集是苏格拉底这个集合： S×P = S 由于从第一个式子中知道P = P×M，所以可以把它代入第二个式子，即： S×（P×M） = S 根据结合律，上式等同于： （S×P）×M = S 但我们已经知道S×P等于S，所以上式可简化为： S×M = S 现在计算完毕。这个表达式告诉我们，苏格拉底和所有要死东西的集合的交集是苏格拉 底，也就是说苏格拉底是要死的。相反，如果认为 S×M等于0，那么结论就是苏格拉底不会 死。再如果，若S×M等于M，则能推出的结论就是苏格拉底是唯一会死去的东西，而其他任 何东西都是不朽的！ 用布尔代数来证明显而易见的事实似乎有些小题大做（尤其当考虑到苏格拉底早已在 2 4 0 0年以前就去世了时），不过，布尔代数还可以用来判断一些事物是否满足一定的标准。也 许有一天，你走进宠物店对店员说：“我想要一只阄过的公猫，白的或黄褐色的均可；或者要 一只没有生殖能力的母猫，除了白色，其他任何颜色均可；或者只要是只黑猫，我也要。”店 员对你说：“看来您想要的猫是下面的式子表示的集合中的一只： （M×N×（W + T））+（F×N×（1 - W））+ B 对吗？”你回答道：“是的，完全正确！” 为了证明店员是正确的，你可能想放弃并和交的概念而转向“ O R（或者/或）”和“A N D （并且/与）”。大写这两个词是因为虽然在通常情况下它们代表语言中的概念，但它们也代表 了布尔代数中的操作。当求两个集合的并集时，你实际上是从第一个集合“或”从第二个集 合中取得事物放入结果集合里。当求两个集合的交集时，满足条件的事物必定在第一个集合 中“并且”也在第二个集合中。此外，每当你看见后跟减号的1，你可以使用单词“N O T（非）” 第10章 逻辑与开关 65 下载