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正定矩阵与特征值 定理: 实数对称矩阵A是正定的,当且仅当其所有特征值为正。 证明: (=>)设λ∈R和非零向量满足A=λv,则由正定性, vTAv=λmv>0 又因为vv>0,因此λ>0。 (<=)因为A是实数对称矩阵,可以设A的两两正交的特征向量为 v1,v2,,vn,则任意向量x可以表达成v1,v2,,Vn的线性组合: xTAx=(a1v1+…+ann)TA(a1v1+…+ann) =11a吃+…+na2>0 因此A是正定的。 7 正定矩阵与特征值 定理:实数对称矩阵�是正定的,当且仅当其所有特征值为正。 证明: (=>) 设 � ∈ �和非零向量�满足�� = ��,则由正定性, ���� = ���� > � 又因为��� > �,因此 � > �。 (<=) 因为 � 是实数对称矩阵,可以设 �的两两正交的特征向量为 ��, ��, . . , ��,则任意向量�可以表达成��, ��, . . , �� 的线性组合: �)�� = ���� + ⋯ + ���� �� ���� + ⋯ + ���� = ���� � + ⋯ + ���� � > � 因此 �是正定的。 7
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