m(D)-m()≤E,m(1)-m(1)≤,i≥1 (以一维情形为例,若I=(a,b],l,=(a1,b],则取J=[a+s,b],J=(a,b+) 于是 U1∈UJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{l}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1…Jx.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如 若J={a+E,b],J1=(a1,b,+),则取J=(a+E,b],J=(a2,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J.由引理1我们有 m(J)=m(/)≤mU)s∑m()=∑m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(1)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m()=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度设m是由上的测度m导出的外测度,称之为 Lebesgue外测度.称m-可测集为 Lebesgue可测集,R"中的 Lebesgue可测集的全体 所成的集类记为(R").由§22定理4知道,M(R")是一个-代数,m是M(R") 上的测度,称之为 Lebesgue测度.今后 Lebesgue测度m简记为m.称测度空间 (R”,M(R"),m)为 Lebesgue测度空间.由§2.2定理10, Lebesgue测度空间 (Rn,M(R"),m)是完备的.又显然 Lebesgue测度空间是a-有限的.今后 Lebesgue可 测集和 Lebesgue测度可以分别简称为L可测集和L测度 上面我们定义了L可测集和L测度那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我 们熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R")61 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2) (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i i i I = a b 则取 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + ). 于是 . 1 1 U U ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J L J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b], ] 2 ( , i i i i J a b ε ′ = + ). 由 于 . 1 U k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 U k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m UJ m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数 m 在C 上是可数可加的. 由 2.2 定理 8, 集函数 m 是R 上的测. Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 设 ∗ m 是由R 上的测度 m 导出的外测度, 称之为 Lebesgue 外测度. 称m∗ −可测集 为 Lebesgue 可测集, n R 中的 Lebesgue 可测集的全体 所成的集类记为 ( ). n M R 由 2.2 定理 4 知道, ( ) n M R 是一个σ -代数, ∗ m 是 ( ) n M R 上的测度, 称之为 Lebesgue 测度. 今后 Lebesgue 测度 ∗ m 简记为 m. 称测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 为 Lebesgue 测度空间 . 由 2.2 定 理 10, Lebesgue 测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 是完备的. 又显然 Lebesgue 测度空间是σ − 有限的. 今后 Lebesgue 可 测集和 Lebesgue 测度可以分别简称为 L 可测集和 L 测度. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我 们熟知的长度 面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R