证明设是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 a(R)cM(R").因此(R)cM(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集 定理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集特别是一些常见的集都是L可测 集.尽管如此,R"中仍然存在子集不是L可测的.这样的集称为 Lebesgue不可测集.在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§31例6中我们将证明,在 R”中存在子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即3(R")严格包含(R”) 由定理3知道,R"中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们 的L测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方 体的体积 证明首先注意到,若I是R"中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 n(1)=现在设是R中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右 闭方体l1和l2,使得l1CIcI2并且 1-|<E,|l1|-|<E (参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有 1-Es|1=m(1)sm(1)≤m(2)=|2|<+E 由E>0的任意性即得m(1)=4再考虑/是无界方体的情形设=1x…xn,其中 1,…,n是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在中 存在一列单调增加的有界闭区间{ks,使得UJk=l并且im=1令 J,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=UJ,并且 im4|= limJi…m=l…n= 由于J是有界方体,由上面已证的结果有m(Jk)={于是由测度的下连续性我们有 m(I)=lim m(k)=limp/[=7. 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 {a}=[a,a]×…×[a,a],因此 m({a})=[ad×…×adl=062 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由 2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集. 定理证毕. 定理.3 表明 Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是L 可测 集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在 3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们 的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方 体的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0, 存在左开右 闭方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε (参见本章习题第 16 题)由测度的单调性我们有 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 I − ε ≤ I = m I ≤ m I ≤ m I = I < I + ε 由ε > 0的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×L× I 其中 n I , ,I 1 L 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,L, n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = U 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×L× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 U ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ L L 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积. 由于单点集 {a} 可看成是方体, 即 {a} = [a,a]×L×[a, a], 因此 m({a}) = [a, a]×L×[a, a] = 0