-(-tan'so lin tanxllim1-tan'xtanso =(1-tan'xo) 例3求极限lmn x+n (n为正整数) 解lin X-n 作变换y=如,当x→∞时,y→0,于是 X-n im(+)=lim(1 +y)7*=lim(+y)') "lim(1 +y)=e2m 例4试求下列极限: sn x (2) lim xsin x: (3) lim xsin - (4) lim xsin x: (3) lim xsin -: 分析这几个极限不小心时容易混淆把(1)误认为mx;(2)与(4)函数相同 但变量x的趋向不同:(3)与(5)也有类似的情况注意变理的趋向是避免出错的关键 解(1)由 (2)由xSix4x|,可得 n xsin x=0(也可按 lm xsin x= lim x. lim sin x=0求得相 同结果) (3)因为xsms,所以mxsm=0 (4)取x=2nx+,lmx, sinx=+∞,由归结原则, lim xsin x不存在 (5)作变换y=1 有y→0,于是 lim xsin -=lim xsin -=I 例5设某种细菌繁殖的速度在合适的条件下与当时已有的数量B0成正比,即V=kB 其中k为比例常数,问经过时间t以后细菌数量为多少? 解为了计算出时刻t时的细菌数量,先把时间间隔等分为n份 t4|由于繁殖过程可看作连续变化的,因此当n充分大时,在每个= (1 tan ) 1 tan tan 1 lim tan (1 tan ) lim 0 4 0 2 2 0 2 0 0 4 x x x x x x x x = −         −       − → → 例 3 求极限 x x x n x n       − + → lim （n 为正整数） 解 x x x n x n       − + → lim = x x x n n       − + → 2 lim 1 作变换 x n n y − = 2 ，当 x → 时, y → 0 ，于是 x x x n x n       − + → lim = ) 2 ( 0 lim (1 ) n y n y y + → + = n n y y n y y y e 2 0 2 1 0 lim ((1+ ) ) lim (1+ ) = → → 例 4 试求下列极限： （1） x x x sin lim → ； （2） x x x lim sin →0 ； （3） x x x 1 lim sin →0 ； （4） x x x lim sin → ； （3） x x x 1 lim sin →− ； 分析 这几个极限不小心时容易混淆.把（1）误认为 x x x sin lim →0 ；（2）与（4）函数相同， 但变量 x 的趋向不同；（3）与（5）也有类似的情况.注意变理的趋向是避免出错的关键. 解 （1）由        x x sin x 1 ，可知 x x x sin lim → =0. （2）由 x sin x | x | ，可得 x x x lim sin →0 =0（也可按 x x x lim sin →0 =  → x x 0 lim x x lim sin →0 =0 求得相 同结果）. （3）因为 x x x  1 sin ，所以 x x x 1 lim sin →0 =0. （4）取 2 2  xn = n + ， = + → n n x lim x sin x ，由归结原则， x x x lim sin → 不存在. （5）作变换 x y 1 = ，有 y →0 ，于是 x x x 1 lim sin → = 1 sin lim sin 0 = → y y x y 例 5 设某种细菌繁殖的速度在合适的条件下与当时已有的数量 B0 成正比，即 0 V = kB ， 其中 k 为比例常数，问经过时间 t 以后细菌数量为多少？ 解 为 了 计 算 出 时 刻 t 时 的 细 菌 数 量 ， 先 把 时 间 间 隔 等 分 为 n 份       −             t t n n n t n t n t , 1 , , 2 0, , ,  .由于繁殖过程可看作连续变化的，因此当 n 充分大时，在每个