证用反证法若imf(x)≠A,则 36>0,v6>0.,x'∈U(x;06),使得f(x)-A≥6。取1=1,彐x∈U(x;o),使 得/(x)-425取62=m1-x,32EUx,62),使得/(x2)一42 取=m1-x,3,Ex,,使得/(x)-42c与m/()=4 相矛盾所以mf(x)=A成立 §4两个重要的极限 sin x 例1求极限im 1-2 cosx 解作变换y=x-,当x→时,y→0,于是有 L-E 1-2 cosx y+0 1-2cos y+T li-S- =lim y y-xo 1-cos y = 2 sin=cos 例2求极限im tan(x+xo)tan(x-xo)+ tan-xo ,x0≠k丌+(k=0,±1+2,…) AE lim tan(x+xo)tan(x-xo)+tan?xo tan o+ tan xo =如、1-tan2xn2x证 用反证法.若 f x A x x  → lim ( ) 0 ，则 0, 0, ( ; )  0    x U x0  ，使得 0 f (x ) − A   .取  1 =1， ( ; ) 1 0  1 x U x ，使 得 1 0 f (x ) − A   .取       2 = 1 − 0 , 2 1  min x x ， ( ; ) 2 0  2 x U x ，使得 2 0 f (x ) − A   ； ………… 取       = −1 − 0 , 1 min x x n  n n ， ( ; ) n 0 n x U x  ，使得 0 f (x ) − A   n 与 f x A x x = → lim ( ) 0 相矛盾.所以 f x A x x = → lim ( ) 0 成立. §4 两个重要的极限 例 1 求极限 x x x 1 2 cos 3 sin lim 3 −       − →   . 解 作变换 3  y = x − ，当 3  x → 时， y →0 ，于是有       − + = −       − → → 3 1 2cos sin lim 1 2cos 3 sin lim 0 3    y y x x y x = y y y y 1 cos 3 sin sin lim 0 − + → = 3 sin 1 cos 1 lim 0 + → − y y y = 3 2 cos 2 2sin 2 2sin 1 lim 2 0 + → y y y y = 3 1 . 例 2 求极限 ( 0, 1, 2, ) 2 , tan( )tan( ) tan lim 2 0 0 2 0 0 0  + =    + − + → x k k x x x x x x x   . 解 2 0 2 0 0 0 tan( )tan( ) tan lim x x x x x x x + − + → = 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 tan 1 tan tan tan tan lim x x x x x x x + − − → = 2 0 2 2 0 2 4 0 (1 tan tan ) tan (1 tan ) lim x x x x x x − − →