imf(x)=f(a)可以推得lin(f。fxn)=(-。f)(a),因而mxn=a,那就错了,这 是因为f(x)并非是[b]上的连续函数(第四章),因而不能断定∫的连续性本题证明应从 反证法着手,由此可见数列极限的否定形式的正面陈述在证明题中的重要性 证用反证法,若mxn≠a,则30>0,n}{n},使得 由x≥a+E0,和f(x)的严格递增性,有 f(xn)≥f(a+E0)>f(a) 因为mf(x2)=lmf(xn)=f(a),于是对上式取k→∞的极限后,得到 f(a)≥f(a+c0)>f(a),而这是不可能的所以有lmxn= 例4设函数f(x)是[a,x)上单调,则极限lmf(x)存在的充要条件是f在[a,x0)上 有界 分析上述结论说明函数单侧极限的单调有界定理的条件不仅是充分而且是必要的 而它的必要性的证明是利用了单侧函数极限的局部有界性 证[必要性]若lmf(x)存在,则由函数极限的局部有界性,彐δ。>0,f(x)在 U°(x0;6)内有界而在[anx0-6(不妨设a<xo-60)上f(x)是单调函数,于是 x∈[a,xn-o],(x)≤max{(a)f(xn-6),由此函数∫在[a,x)上有界 [充分性]若函数∫在[a,x)上有界,因为∫在[a,x)上单调,由函数极限的单调有界 定理,imf(x)存在 例5设f(x)在点x0的邻域内有定义试证:若对任何满足下述条件的数列{xn}, xn∈U°(x0),xn→x0, 0<rm1-xo<r -xol (3.12) 都有imf(xn)=A,则mf(x)=A 分析由归结原则可知:上述结论不仅是充分的,而且是必要的本题可看作函数极限 归结原则的加强形式,即子列{xn}只要满足(312)的加强条件就可以了注意下面证明中选 子列的方法lim f (x ) f (a) n n = → 可以推得 lim( )( ) ( )( ) 1 1 f f xn f f a n   − − → = ，因而 xn a n = → lim ，那就错了，这 是因为 f (x) 并非是[a,b]上的连续函数（第四章），因而不能断定 −1 f 的连续性.本题证明应从 反证法着手，由此可见数列极限的否定形式的正面陈述在证明题中的重要性. 证 用反证法，若 xn a n  → lim ，则  0  0 ， xn  xn  k   ，使得 0 x − a   nk . 由 0 x  a +  nk ，和 f (x) 的严格递增性，有 ( ) ( ) ( ) f x f a 0 f a nk  +   . 因为 lim f (x ) lim f (x ) f (a) n n n k k = = → → ，于是对上式取 k →  的极限后，得到 ( ) ( ) ( ) f a  f a +  0  f a ，而这是不可能的.所以有 xn a n = → lim . 例 4 设函数 f (x) 是 [ , ) 0 a x 上单调，则极限 lim ( ) 0 f x x x → − 存在的充要条件是 f 在 [ , ) 0 a x 上 有界. 分析 上述结论说明函数单侧极限的单调有界定理的条件不仅是充分而且是必要的， 而它的必要性的证明是利用了单侧函数极限的局部有界性. 证 [必要性] 若 lim ( ) 0 f x x x → − 存在，则由函数极限的局部有界性， 0, ( ) 0   f x 在 ( ; ) 0  0 U x −  内有界.而在 [ , ] 0 −  0 a x （不妨设  0 −  0 a x ）上 f (x) 是单调函数，于是 x [ , ] 0 −  0 a x ， f (x) ≤ max f (a), f (x0 − 0 ) ，由此函数 f 在 [ , ) 0 a x 上有界. [充分性] 若函数 f 在 [ , ) 0 a x 上有界，因为 f 在 [ , ) 0 a x 上单调，由函数极限的单调有界 定理， lim ( ) 0 f x x x → − 存在. 例 5 设 f (x) 在点 0 x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列 xn ， ( ) 0 x U x n   ， 0 x x n → ， 0 1 0 0 x x x x  n+ −  n − ， （3,12） 都有 f xn A n = → lim ( ) ，则 f x A x x = → lim ( ) 0 . 分析 由归结原则可知：上述结论不仅是充分的，而且是必要的.本题可看作函数极限 归结原则的加强形式，即子列 xn  只要满足（3.12）的加强条件就可以了.注意下面证明中选 子列的方法