a1+a3+…+a =maxa §3函数极限存在的条件 例1设 (x为有理数 试用归结原则证明x0≠0时,mf(x)不存在 证若x0≠0,取{xn}为有理点列,lmx=x;取{”为无理点列,imx"=x。,因为 lm f(x'=lm x n=xo, lim f(x")=lim0=0 于是由归结原则可知lf(x)不存在 例2设 f(x)={.x为有理数 -x,x为无理数 若x0≠0,用柯西准则的否定形式证明皿f(x)不存在mf(x)是否存在? 证需证360>0.V6,3x2,x"∈U(x),使得|f(x')-f(x")≥5当x>0,取 E。=x0,δ>0,取x,x"∈U°(x0;δ),使x为有理数,x"为无理数,此时 f(x)-f(x")=x-(-x")=x+x">2x>5 由此可知lmf(x)不存在 因为f(x)1x|→0(x→0),所以mf(x)=0 例3设f(x)是[ab上严格递增函数,又若对xn∈(a,b(=12,…),有lmf(xn)=f(a) lim x =a 分析因为f(x)是[ab]上的严格递增函数,所以存在反函数∫.如果以为从i i n x x n x x x a n a a a →+   =         + + + 1 1 1 2 lim max  . §3 函数极限存在的条件 例 1 设    = 0 . , ( ) 2 为无理数 为有理数 x x x f x 试用归结原则证明 x0  0 时， lim ( ) 0 f x x→x 不存在. 证 若 x0  0 ，取 xn   为有理点列， 0 lim x x n n  = → ；取 xn  为无理点列， 0 lim x x n n  = → .因为 2 0 2 lim f (x ) lim x x n n n n  =  = → → ， lim ( ) = lim 0 = 0 → n→ n n f x ， 于是由归结原则可知 lim ( ) 0 f x x→x 不存在. 例 2 设    − = , . , , ( ) 为无理数 为有理数 x x x x f x 若 x0  0 ，用柯西准则的否定形式证明 lim ( ) 0 f x x→x 不存在. lim ( ) 0 f x x→ 是否存在？ 证 需 证 0, , , ( ) 0 0    x  x U x ，使得 0 f (x ) − f (x )   . 当 x0  0 ， 取  0 = x0 ,  0 ，取 , ( ; ) x  x U + x0  ，使 x  为有理数， x  为无理数，此时 2 0 0 f (x ) − f (x ) = x  − (−x ) = x  + x   x   . 由此可知 lim ( ) 0 f x x→x 不存在. 因为 f (x) | x |→0(x →0) ，所以 lim ( ) 0 f x x→ =0. 例3 设 f (x) 是[a,b]上严格递增函数，又若对 x (a,b](n =1,2, ) n ，有 lim f (x ) f (a) n n = → . 证明 xn a n = → lim . 分析 因为 f (x) 是[a,b] 上的严格递增函数，所以存在反函数 −1 f . 如果以为从