()过两己知点作一直线 ()以已知点为圆心、以已知两点之间的距离为半径画圆 (m)作已知两直线、已知直线和已知圆、已知两个圆的交点 现在分析一下这些操作能产生哪些新的点？设实域F是己知的这时的己知直线和已 知圆在我们的坐标系下就相当z,的一次方程ar+by+c=0和二次方程x2+y2+ax+bg+c 0.而其系数在已知实域F中，当采用操作()时，所得新的坐标必在域F的毕氏扩域中.注意 到F的毕氏扩域的毕氏扩域仍是F上的毕氏扩域，因而操作()能提供的新数走不出已知 域F的毕氏扩域的范围操作.间)则是为获得新点作的准各，或是最终作出所求图形 综上所述，由已知数a1,…,an出发能用尺规作出的数是而且仅是实域F=Q(a1,…,an)的 毕氏扩域中的数 另一方面，实域的毕氏扩域是严格的数学概念，而尺规作图则是实践中有共识的直观概 念，在数学概念与非数学的直观概念之间无法运用数学推理去证明它们的等价，我们只能把 上述刻画看成是尺规作图的一种数学模型或者尺规作图的一种公理化. 初等几何尺规作图的数学模型：由己知数a1,·,an出发能用尺规作出的数是且仅是 实域F=Q(a1,…,an)的毕氏扩域中的数. 该强调一下的是，当讨论尺规作图“能问题”时，我们不需要这个尺规作图的公理化因 为F的毕氏扩域中的数，我们会用尺规作出，能作出来，它当然是个“能问题”.但是当讨论尺 规作图“不能问题”时，就需要这个尺规作图的公理化作为我们的共同出发点. 命题5.2设实域K是实域F的扩域且K:F可是奇数.则K必不含在F的毕氏扩域中 证否则，KCE,E是F的毕氏扩域.依定义知E:F=2m.再由E:F=E:KK F及K:F是奇数，便得矛盾.■ 下面我们来解决尺规作图的三个古代难题， 三等分角问愿：设a是已知角，试三等分之，即求角使39=( 哭角能用尺规作出，则cos0地能用尺规作出.反之亦然由三角公式有 cosa cos30 =4cos03-3cos0. 这样所求的cos0是三次多项式4r3-3z-cosa的根. 如果这个三次多项式是域F=Q(csa)上的不可约多项式（例如当a=60°而cosa= 时)，则F(cos)是F上三次扩域，因而依上命题，F(cs)不可能含在F的一个毕氏扩域中，随 csa不能用尺规作出. 因此用尺规不能三等分任意角（例如不能三等分60°角），2 (i) L¸Æ:äòÜÇ; (ii) ±Æ:è%!±Æ¸:ÉmÂlèåªx; (iii) äƸÜÇ!ÆÜÇ⁄Æ!Ƹá:. y3©¤òe˘ ˆäU)= #:? ¢çF¥Æ.˘ûÆÜÇ⁄Æ 3·ÇãIXe“Éx, yògêßax+by+c = 0⁄gêßx 2+y 2+ax+by+c = 0, ŸXÍ3Æ¢çF•,Ê^ˆä(iii)û, §#ãI73çF.º*ç•. 5ø F.º*ç.º*çE¥F˛.º*ç,œ ˆä(iii)UJ¯#Írÿ—Æ çF.º*çâå.ˆä(i),(ii)K¥èº#:äO,½¥Å™ä—§¶„/. n˛§„,dÆÍa1, · · · , an—uU^º5ä—Í¥ Ö=¥¢çF = Q(a1, · · · , an) .º*ç•Í. ,òê°,¢ç.º*ç¥ÓÇÍÆVg, º5ä„K¥¢Ç•k
£Ü*V g,3ÍÆVgÜöÍÆÜ*VgÉmÃ{$^ÍÆÌny²ßÇd,·ÇêUr ˛„èxw§¥º5ä„ò´ÍÆ.½ˆº5ä„ò´˙nz. –A¤º5ä„ÍÆ.: dÆÍa1, · · · , an—uU^º5ä—Í¥Ö=¥ ¢çF = Q(a1, · · · , an).º*ç•Í. TrNòe¥,?ÿº5ä„“UØK”û,·ÇÿIá˘áº5ä„˙nz,œ èF.º*ç•Í, ·Ç¨^º5ä—,Uä—5,ß,¥á“UØK”.¥?ÿº 5ä„“ÿUØK”û,“Iá˘áº5ä„˙nzäè·Ç
”—u:. ·K5.2 ¢çK¥¢çF*çÖ[K : F]¥¤Í. KK7ÿ¹3F.º*ç•. y ƒK, K ⊆ E, E¥F.º*ç. ù½¬[E : F] = 2m. 2d[E : F] = [E : K][K : F]9[K : F]¥¤Í, BgÒ. e°·Ç5)˚º5ä„náìJK. ~5.3 n©ØK: α¥Æ, £n©É, =¶θ¶3θ = α. XJθU^º5ä—, Kcos θèU^º5ä—,áɽ,. dn˙™,k cos α = cos 3θ = 4 cos θ 3 − 3 cos θ. ˘§¶cos θ¥ngıë™4x 3 − 3x − cos αä. XJ˘ángı뙥çF = Q(cos α)˛ÿåıë™(~Xα = 60◦ cos α = 1 2û),KF(cos θ)¥F˛ng*ç, œ ù˛·K, F(cos θ)ÿåU¹3Fòá.º*ç•,ë Écos θÿU^º5ä—. œd^º5ÿUn©?ø(~XÿUn©60◦).