三大古代难题的解决 上海交通大学数学科学学院章璞 所谓尺规作图，就是从己知的平面几何图形（如一些点、线段、角、三角形、圆等），仅 用无刻度的直尺和圆规，作出新的平面几何图形（也是一些点、线段、角、三角形、圆等）， 这些几何图形，均可归结为点例如，线段由其上两个不同的点决定：角由其顶点和两条边上 各取一点所决定：三角形由三个顶点决定：圆由圆心和圆周上一个点决定：等等.因此，尺 规作图问题就是：已知平面上的一些点，仅用尺规能作出哪些新的点？ 笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)引入直角坐标系，建立了几何与代数的联系.取定单位 长度1和直角坐标系以后，平面上的点就可唯一地用实数对（工，）表达，其中工，y分别是该点 的横坐标和纵坐标.易知点（红，）能用尺规作出当且仅当点（红，0）和点(0，)能用尺规作出，当 且仅当点 (g,0)能用尺规作出.因此我们的问题转化成：已 些实数a1…, 用尺规能作出哪些实数？以下读者可将实数a理解成点(a,0). 有了坐标原点0和单位长1以后，就可作出点（二，0），其中m为正整数：首先可作出点(0，m)和(1,0)： 己知实数a,b≠0，就可作出实数号：（不妨设a,b>0)首先可作出点(0，）和(a,0:再过 ,0)的连线的平行线，交x轴于点P,则点P为(：，0).进而我们知道就可作 由此可知：已知实数a1,…,an,可用尺规作出域Q(a1,…,an)中的任一实数（参见本章 引理13). 己知实数b≠0，可用尺规作出实数√瓜首先作出原点O和点(1+6,0)的中点M(学，0)： 以M为圆心、以岁为半径画圆：再过点(1,0)作X轴的垂线交圆于(1，r),则r=√6. 定义5.1设F是实数域的子域（以下简称为实域）.如果K=F(V(V)( 其中所有，>0.b1∈E,b:∈F(W)(V网…(V6-,i之2，则称K为F的Pythagoras(华 达哥拉斯)扩域，简称毕氏扩域. 这样，以上的讨论说明：由己知实数a1 ,an出发，可用尺规作出域F Q(1 ,0n 的任意毕氏扩域中的（实）数.问题是我们是否相信这些F的毕氏扩域中的数就是用尺规 由α1，…，a.出发能作出的所有实数？为此我们回顾一下尺规作图通常采用的操作.不外乎 是有限次地进行如下操作： 1 nåìJK)˚ ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ §¢º5ä„,“¥lƲ°A¤„/(Xò :!Ç„!!n/!), = ^Ãè›ܺ⁄5, ä—#²°A¤„/(è¥ò :!Ç„!!n/!). ˘ A¤„/,˛å8(è:.~X,Ç„dŸ˛¸áÿ”:˚½; dŸº:⁄¸^>˛ àò:§˚½¶n/dnáº:˚½;d%⁄±˛òá:˚½; . œd, º 5ä„ØK“¥:Ʋ°˛ò :,=^º5Uä—= #:? (k(R. Descartes, 1596-1650) ⁄\ÜãIX,Ô· A¤ÜìÍÈX. ½¸† ›1⁄ÜãIX±￾, ²°˛:“åçò/^¢ÍÈ(x, y)Là, Ÿ•x, y©O¥T: ÓãI⁄pãI. ¥:(x, y)U^º5ä—Ö=:(x, 0)⁄:(0, y)U^º5ä—, Ö=:(x, 0)⁄:(y, 0)U^º5ä—. œd·ÇØK=z§: Æò ¢Ía1, · · · , an, ^º5Uä—= ¢Í? ±e÷ˆåÚ¢Ían)§:(a, 0). k ãI:O⁄¸†1±￾,“åä—:( 1 m , 0), Ÿ•mèÍ: ƒkåä—:(0, m)⁄(1, 0); 2L:(0, 1)ä(0, m)⁄(1, 0)ÎDz1Ç,X¶u:P, K:Pè( 1 m , 0).ÚP7:^ =180›(− 1 m , 0). ddå^º5å±ä—§kknÍ. Æ¢Ía, b 6= 0, “åä—¢Ía b : (ÿîa, b > 0) ƒkåä—:(0, b)⁄(a, 0); 2L :(0, 1)ä(0, b)⁄(a, 0)ÎDz1Ç,X¶u:P, K:Pè( a b , 0). ? ·Ç“åä —a ± b, ab = a ( 1 b ) , a b . ddå:Æ¢Ía1, · · · , an,å^º5ä—çQ(a1, · · · , an)•?ò¢Í(ÎÑŸ ⁄n1.3). Æ¢Íb 6= 0, å^º5ä—¢Í√ b: ƒkä—:O⁄:(1+b, 0)•:M( 1+b 2 , 0)¶ ±Mè%!±1+b 2 èåªx¶2L:(1, 0)äX ¶RÇu(1, r), Kr = √ b. ½¬5.1 F¥¢ÍçRfç(±e{°è¢ç). XJK = F( √ b1)(√ b2)· · ·( √ bm), Ÿ•§kbi > 0, b1 ∈ F, bi ∈ F( √ b1)(√ b2)· · ·( p bi−1), i ≥ 2, K°KèFPythagoras(. àx.d)*ç,{°.º*ç. ˘,±˛?ÿ`²:dÆ¢Ía1, · · · , an—u,å^º5ä—çF = Q(a1, · · · , an) ?ø.º*ç•(¢)Í. ØK¥·Ç¥ƒÉ&˘ F.º*ç•Í“¥^º5 da1, · · · , an—uUä—§k¢Í?èd·Ç£òeº5ä„œ~Ê^ˆä.ÿ ¥kÅg/?1Xeˆä: