第一讲 关于初等几何 ◆ 在中学数学载材中占据重要的地位 ■是历次数学课程改革的重点 ■中小学几何课程的历史发展 ■几乎占据了“三大能力”中的两大能力：逻辑推理能力，空间想象能力 第一章证愿法。初等几何变换。 度量与计算 §1.1引言 ■初等几何研究的对象是多方面的： ■初等几何研究有利于大家从更为一般，更为概括而连续的角度分析现行中小学数学 教材中的初等几何.可以举例说明 (欧氏几何命题，绝对几何命题 §1,2关于数学证明 ■数学需要证明，证明后的结论需要实践的检验。 ■严格的数学证明有助于抓住事物的本质，上升到一般理论，从而使数学具有高度的 抽象性和广泛的应用性 ·直观与推理 ·关于命题证明 ■命恩由两部分组成：前提（假设）与结论，数学上的命题常写成假言命题的形式 ■命题不一定是真的，即不一定成立，真命题称为定理. ■数学证明：由假设经过推理得出结论.推理的每一步都要求言必有据 §1,3命题的四种变化 ■换位：把一个命题的前提和结论互换地位，前提变为结论，结论变为前提， 。换质：把命题的两部分同时加以否定，地位保持不变. ■设原命题为若P则Q”,则换位以后为“若Q则P”,此命趣称为原命题的逆命题： 换质以后为若非P则非Q”出命题称为原命题的否命题 ■经过换位与换质，有一个命题可得到四个命题： (1)原命 题：若P则Q,P一Q: ■ （2)逆命题：若Q则P,Q一P: ■(3)否命题：若P则Q,PQ: ■(4)逆否命题：若Q则P,Q一P ■例1： (1)原命题：正方形的对角线互相直平分 (真) (2)逆命题：对角线互相垂直平分的四边形是正方形.（假） (3)否命题：不是正方形的四边形对角线不能互相垂直平分.（假） (4)逆否命题：对角线不互相垂直平分的四边形不是正方形.（真） 四种命题的关系图示如下：第一讲 关于初等几何 ◼ 在中学数学教材中占据重要的地位 ◼ 是历次数学课程改革的重点 ◼ 中小学几何课程的历史发展 ◼ 几乎占据了“三大能力”中的两大能力：逻辑推理能力，空间想象能力 第一章 证题法．初等几何变换． 度量与计算 §１．１ 引言 ◼ 初等几何研究的对象是多方面的； ◼ 初等几何研究有利于大家从更为一般，更为概括而连续的角度分析现行中小学数学 教材中的初等几何．可以举例说明 ◼ （欧氏几何命题，绝对几何命题） §１．２ 关于数学证明 ◼ 数学需要证明，证明后的结论需要实践的检验． ◼ 严格的数学证明有助于抓住事物的本质，上升到一般理论，从而使数学具有高度的 抽象性和广泛的应用性． ◼ 直观与推理 ◼ 关于命题证明 ◼ 命题由两部分组成：前提（假设）与结论．数学上的命题常写成假言命题的形式 ◼ 命题不一定是真的，即不一定成立，真命题称为定理． ◼ 数学证明：由假设经过推理得出结论．推理的每一步都要求言必有据． §１．３ 命题的四种变化 ◼ 换位：把一个命题的前提和结论互换地位，前提变为结论，结论变为前提． ◼ 换质：把命题的两部分同时加以否定，地位保持不变． ◼ 设原命题为“若Ｐ则Ｑ”，则换位以后为“若Ｑ则Ｐ”，此命题称为原命题的逆命题； 换质以后为“若非Ｐ则非Ｑ”．此命题称为原命题的否命题． ◼ 经过换位与换质，有一个命题可得到四个命题： ◼ （１）原命题：若Ｐ则Ｑ，Ｐ→Ｑ； ◼ （２）逆命题：若Ｑ则Ｐ，Ｑ→Ｐ； ◼ （３）否命题：若Ｐ则Ｑ，Ｐ→Ｑ； ◼ （４）逆否命题：若Ｑ则Ｐ，Ｑ→Ｐ． ◼ 例１： （１）原命题：正方形的对角线互相直平分．（真） （２）逆命题：对角线互相垂直平分的四边形是正方形．（假） （３）否命题：不是正方形的四边形对角线不能互相垂直平分．（假） （４）逆否命题：对角线不互相垂直平分的四边形不是正方形．（真） 四种命题的关系图示如下：