§1.3.1四种命愿的真假关系 ■若原命题为真，则他的逆命或否命题未必为真 个定理的逆命题或 否命题必须通过判断才能确定真债 ·互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假. ■综上所述，原命题与其逆否命题是等价的：原命题的逆命题与原命题的否命题是等 价的. 813,2充分条件。必要条件.充要条件 铅 在定理P Q(若P则Q)中，条件P成为性质Q的充分条件：Q称为P 的必要 ■若原命题与逆命题同时成立：P一Q,Q→P,则P是Q的充分和必要条件：Q 也是P的充分和必要条件.即P与Q互为充要条件， 关于必要和充分的意义，可概括如下 必要：无它必不行，有它未必行： ■ （2)充分：有它必行，无它未必不行： ■(3)充要：有它必行，无它必不行. 例如：对角线互垂是菱形的必要条件而不是充分条件：菱形的充要条件？ 81,33证明命题要蓝防出错 个题是否成立 ·若要否定一个错误的命题，只要找到一个反例即可。 。如要否定“若四边形四边相等，则为正方形”只要举菱形为例即可：要否定“若两多边 形的对应边相等，则必相似”，只要举菱形与正方形即可. ■命题：有一双对边相等和一双对角相等的四边形是平行四边形. ■设四边形ABCD中，AD=BC /A=/C,求证ABCD是平行四边形 §1.4逆命题证法 证明逆命题，常用下列方法： (1)直接证明逆命题：将原命题的证明过程反其道而行之， 举例说明： ■定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（原命题） 逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上 ■(2)证明与逆命题等效的否命题 ■如上例， ■不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 ■(3)利用原命题本身证明逆命题 ■例：两直线被一直线所截，若同位角相等，则此两直线平行（原命题） ■逆命题：两平行直线被一直线所截，则同位角相等. §1.5直接证法与间接证法 1)直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公理，定理进行一系列正面的推 理，最后得出命题的结论，此证明方法称为直接证法. ■（2)对于不能直接证明的命题，我们往往证明它的等效命题，这种证明方法称为 间接证法. §１．３．１四种命题的真假关系 ◼ 若原命题为真，则他的逆命题或否命题未必为真． ◼ 一个定理的逆命题或否命题必须通过判断才能确定真假． ◼ 互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假． ◼ 综上所述，原命题与其逆否命题是等价的；原命题的逆命题与原命题的否命题是等 价的． §１.３.２充分条件．必要条件．充要条件 ◼ 一般地，在定理Ｐ→Ｑ（若Ｐ则Ｑ）中，条件Ｐ成为性质Ｑ的充分条件；Ｑ称为Ｐ 的必要条件． ◼ 若原命题与逆命题同时成立： Ｐ→Ｑ，Ｑ→Ｐ，则Ｐ是Ｑ的充分和必要条件； Ｑ 也是Ｐ的充分和必要条件．即Ｐ与Ｑ互为充要条件． 关于必要和充分的意义，可概括如下： ◼ （１）必要：无它必不行，有它未必行； ◼ （２）充分：有它必行，无它未必不行； ◼ （３）充要：有它必行，无它必不行． 例如：对角线互垂是菱形的必要条件而不是充分条件；菱形的充要条件？ §１.３.３证明命题要谨防出错 ◼ 关键要会判断一个命题是否成立． ◼ 若要否定一个错误的命题，只要找到一个反例即可． ◼ 如要否定“若四边形四边相等，则为正方形”只要举菱形为例即可；要否定“若两多边 形的对应边相等，则必相似”，只要举菱形与正方形即可． ◼ 命题：有一双对边相等和一双对角相等的四边形是平行四边形． ◼ 设四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ， ∠Ａ＝∠Ｃ，求证ＡＢＣＤ是平行四边形 §１.４逆命题证法 证明逆命题，常用下列方法： ◼ （１）直接证明逆命题：将原命题的证明过程反其道而行之． 举例说明： ◼ 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（原命题） 逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上 ◼ （２）证明与逆命题等效的否命题 ◼ 如上例，其否命题为： ◼ 不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 ◼ （３）利用原命题本身证明逆命题 ◼ 例：两直线被一直线所截，若同位角相等，则此两直线平行（原命题） ◼ 逆命题：两平行直线被一直线所截，则同位角相等． §１.５直接证法与间接证法 ◼ （１）直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公理，定理进行一系列正面的推 理，最后得出命题的结论，此证明方法称为直接证法． ◼ （２）对于不能直接证明的命题，我们往往证明它的等效命题，这种证明方法称为 间接证法．