解x2+3+4=5+4=2, 补13求有理数加群(Q:+)的一个子群H,使H≠Z且H≠Q 如 H={q/3q∈Z} 补14设(G:)是一个群,令H={x|xa=aox,x∈G},其中a是 G中一个固定的元素.证明:H是G的一个子群 证明显然,群中单位元e∈H,Vx,y∈H, x=aoroa ,y=ao yoa Do(aoyoa )=ao(roy)oa 所以,(xoy)oa=ao(x°y),(xoy)∈H 补16。已知〈R:+;)是一个环,R={a,b,C,d},它的运算表如下: aa h cid aa b Ldld a bc ld acaa 问:它是交换环吗?乘法有单位元吗?这个环的零元(加法单位元) 是什么?并求每个元的加法逆元 解是交换环。乘法无单位元。零元是a,-a=a;-b=d;-c=c;-d=b 补17.设(G:°)是一个半群,证明G×G对于下面的运算“*”构成 个半群 (a1,a2)*(b,b2)=(a1。b1a2°b2) 当G有单位元时,证明G×G也有单位元;当G是群时,G×G也 是群 解G有结合律,则GXG也有结合律;当G有单位元e时,G×G 也有单位元(e,e);当va∈G有逆元a1时,v(a,a)∈G×G有逆元 补18.证明:若含有单位元的有限半群(G:°)关于运算“。”适合 消去律,则G:°)是一个群 证明设G={al,a2an},ai∈G,a,a,…an∈G且互不相 等(因为消去律成立)。设aa1,为单位元e,则a的逆元为 G:o)是一个群 补19*.设(G:°)是一个群,H是G的非空有限子集.证明:如果H 对G的运算“。”封闭,则H是G的子群 证明va∈H,由H对运算封闭,则a2,a3,ak∈H(k∈N) H是G的有限子集,彐a=a,ea=a(e为G中单位元),G有消去 律,得e=al∈H,H是有单位元的有限的G的子集,有消去律,由 18题得H是G的子群解 3 4 5 4 2, 2, 3,4. 2 2 x + + = + = x = x = 补 13 求有理数加群 Q：+ 的一个子群 H, 使 HZ 且 HQ. 如 H={q/3qZ} 补 14 设 G： 是一个群, 令 H = {x | x  a = a  x, xG} , 其中 a 是 G 中一个固定的元素. 证明：H 是 G 的一个子群. 证明 显然，群中单位元 eH, x, yH, ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . , , 1 1 1 1 1 x y a a x y x y H x y a x a a y a a x y a x a x a y a y a =  = = = = − − − − −                   所以， ， 补 16。已知 R：+,  是一个环, R = {a, b, c, d}, 它的运算表如下： + a b c d • a b c d a a b c d a a a a a b b c d a b a c a c c c d a b c a a a a d d a b c d a c a a 问：它是交换环吗？乘法有单位元吗？这个环的零元(加法单位元) 是什么？并求每个元的加法逆元. 解 是交换环。乘法无单位元。零元是 a, -a=a; -b=d; -c=c; -d=b. 补 17． 设 G： 是一个半群, 证明 GG 对于下面的运算“*”构成 一个半群 ( , ) ( , ) ( , ), a1 a2 b1 b2 a1 b1 a2 b2  =   当 G 有单位元时, 证明 GG 也有单位元；当 G 是群时, GG 也 是群. 解 G 有结合律，则 GG 也有结合律; 当 G 有单位元 e 时, GG 也有单位元(e, e); 当aG 有逆元 a -1 时, (a1, a2) GG 有逆元 (a1 -1 ,a2 -1 ). 补 18．证明：若含有单位元的有限半群 G： 关于运算“  ”适合 消去律, 则 G： 是一个群. 证明 设 G={ a1, a2, an}, aiG, aia1, aia2,  aianG 且互不相 等（因为消去律成立）。设 aiaj,为单位元 e, 则 ai 的逆元为 aj.  G： 是一个群. 补 19*. 设 G： 是一个群, H 是 G 的非空有限子集. 证明：如果 H 对 G 的运算“  ”封闭, 则 H 是 G 的子群. 证明 aH, 由 H 对运算封闭，则 a 2 ,a3 , a kH (kN), H 是 G 的有限子集,  a i=ai+j , eai=ai+j (e 为 G 中单位元), G 有消去 律，得 e=ajH, H 是有单位元的有限的 G 的子集，有消去律，由 18 题得 H 是 G 的子群