43.a,b,c为非零向量,下列命题是否成立? (1)如果a·b=a·c,且a≠0则b=c 如果axb=a×c,且a≠0则b=c (3)川aa=a2;(4)a(ab)=a2b;(5)(ab)2=a2b2;(6(ab)c=a(bc); (7)(axb)×c=ax(b×c);(8)a(b·b)=ab 解(1)不成立。如ab,c=b,a×b=a×c=0 (2)不成立。如c=a+b,axb=axc (3)(4)(5)(6)(7),均不对;(8)对 59.设〈S;·是可交换的半群.证明:如果S中的元素a,b满足aa=a, beb=b,则(a·b)(ab=a·b 证明(a.b)w(ab=a(ba)b=aw(ab)b=(a.a)bb=(ab) 加题F(-∞,∞)={/vx∈(-0,∞)f(x)∈R}, Vf, gER(∞,x) (fgx=f(g(x),问F(-∞,∞)是半群吗? 答有结合律:(f·g)h=f(gh单位元I(x)=x,是含幺半群。 60<G,·>为含幺半群,x∈G,xx=e(幺元),证明<G,·为Abel 群, 证明Ⅴx∈G,xx=e,xlx,xy∈G,xwy∈G,(X)·(xX·)=e x)y=e→(y·x=xl 任一元存在逆元,乘积可交换,所以<G●为Abel群。 61.写出模8剩余类加群(z3:⊕)的所有子群 答{0},{0,4},{0,2,4,6} 64.在环(Z;,°)中,求每个非零元的乘法逆元 答{1,2,3,456},的逆元分别是1,4,5,2,3,6} 66在Z15中,找出方程x2=1的全部根 答{1,4,11} 补10在有理数集Q上定义二元运算“*”为a*b=a+b-ab讨论运 算“*”是否满足结合律和交换律?Q关于运算“*”是否存在单位 元?Q中每个元素是否可逆?可逆元的逆元是什么? 解Q上*是封闭的;* 有结合律:(a*b)*c=(a+b-ab)*c=a+b-abc-(a+b-ab)c a*(b*ca*(b+c-bc=a+b+c-bc-albtc-bc(a*b )*c 有交换律:(a*b)=(b*a),单位元为0:a*0=0*a=0; a*b=a+b-ab=0,b=a/a-1),当a≠1时,有逆元al=/a-1)a=1时 *b=1+b-1b=1≠0,所以1不可逆 补12.设S=Q\},S上的二元运算“*”如第11题所定义 (1)证明〈S:*)是一个群.(见11题的证明) (2)求方程2*x*3=7在S中的解 解(2)2*x*3=7,x=(2+x-2x)*3=7,(2-x)+3-3(2-x)=7,x=4 加题在环Z7中求方程x2+3=5的根43. a ,b ,c 为非零向量，下列命题是否成立？ (1) 如果 a  b = a  c, 且 a  0 则 b = c； (2) 如果 a  b = a  c, 且 a  0 则 b = c. (3)aa=a 2 ; (4) a(ab)=a2b; (5) (ab) 2=a2b 2 ; (6)(ab)c=a(bc); (7) (ab)c = a(bc); (8) a(bb)=ab2. 解 (1）不成立。如 a⊥b, c=-b, a  b = a  c=0. (2) 不成立。如 c=a+b, a  b = a  c. (3),(4),(5),(6),(7), 均不对； (8)对 群，环，域 59. 设S; •是可交换的半群. 证明：如果 S中的元素a, b满足a•a=a, b•b=b;则(a•b) •(a•b)=a•b 证明 (a•b) •(a•b)=a•(b•a)•b)=a •(a•b) •b=(a•a)(b•b)= (a•b) . 加题 F(−,) ={ f x(−,), f (x)R}, f,gF(-,), (f•g)(x)=f(g(x)), 问 F(-,)是半群吗？ 答 有结合律：(f•g) •h=f•(g •h),单位元 I(x)=x,是含幺半群。 60 <G;•>为含幺半群，xG, x•x =e (幺元)，证明<G;•>为 Abel 群, 证明 xG, x•x =e, x -1=x, x,yG, x•y G, (x•y) • (x•y) =e , x•(y•x)•y=e (y•x)= x-1•y -1=x•y, 任一元存在逆元，乘积可交换，所以<G;•>为 Abel 群。 61. * 写出模 8 剩余类加群 Z8： 的所有子群. 答 {0},{0,4},{0,2,4,6}。 64. * 在环 ,  Z7： 中, 求每个非零元的乘法逆元. 答 {1,2,3,4,5,6},的逆元分别是{1,4,5,2,3,6}。 66. * 在 Z15 中, 找出方程 1 2 x = 的全部根. 答 {1,4,11} 补 10 在有理数集 Q 上定义二元运算“*”为 a*b = a +b −ab. 讨论运 算“*”是否满足结合律和交换律？Q 关于运算“*”是否存在单位 元？Q 中每个元素是否可逆？可逆元的逆元是什么？ 解 Q 上是封闭的； 有结合律：(ab) c=(a+b-ab) c=a+b-ab+c-(a+b-ab)c= a (bc)= a (b+c-bc) =a+b+c -bc -a(b+c-bc)= (ab) c 有交换律：(ab)= (ba); 单位元为 0: a0=0a=0; ab=a+b-ab=0, b=a/(a-1), 当 a1 时，有逆元 a -1=1/(a-1);a=1 时 1b=1+b-1b=10,所以 1 不可逆。 补 12．设 S = Q \ {1}, S 上的二元运算“  ”如第 11 题所定义. （1） 证明 S： 是一个群.（见 11 题的证明） （2） 求方程 2 x 3 = 7 在 S 中的解. 解（2）2x3=7, x=(2+x-2x)3 =7, (2-x)+3-3(2-x)=7, x=4. 加题 在环 Z7 中求方程 3 5 2 x + = 的根