但显然∫(=)=—在=0处不解析 17设f()与g()在区域D内处处解析,C为D内任何一条简单光滑闭曲线,它的内部全属于D如 果∫(=)=g(=)在C上所有点都成立,试证在C的内部所有点处f(=)=g(=)也成立。 证因f(二)g()在D内处处解析故在C上及其内部也处处解析,设二0为C的内部的任一点,则由 Cauchy积分公式有 (a)=2 g{) 又因在C上∫(=)=8(),故 520d:=5 从而f(=0)=g(=0)由=0的任意性,在C的内部均有f()=g(=) l8.设区域D是圆环域,f(=)在D内解析,以圆环的中心为中心作正向圆周K与K2,K2包含K1, 二0为K1,K2之间任一点,试证(35.1)仍成立,但C要换成K1+K2(见图) 证明参照78页闭路变形定理的证明方法。 1设/()在单连通区域D内解析,且不为零,C为D内任何一条简单光滑闭曲线,问积分( 是否为零?为什么? 解等于零。因()在D内解析,故f()具有各阶导数且仍为解析函数,从而f()在D内也解析 又因在D内)=0,故在D内解析,从而在C上及C的内部也解析,于是由 Cauchy-Gourss定理里, 有 f(=) 20.试说明柯西一古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线? 21.设f(二)在区域D内解析,C为D内的任意一条正向简单闭曲线,证明:对在D内但不在C上 的任意一点 50,等式:f(=) f(=) c成立 证明利用Cay积分公式,有∮(d=2mv()L=2mV()而由高阶导数公式 f(2)d=2f()l==2mjf(=),故所证等式成立。 22.如果(x,y)和(x,y)都具有二阶连续偏导数,且适合拉普拉斯方程,而s=n-v,t=+v 那么s+i是x+iy的解析函数。 证明由(x,y)和v(x,y)都具有二阶连续偏导数,而s=9,-Vx,t=q+V,知,S,t具有一阶 连续的偏导数,在证S,满足C一R方程即可。注意x+On=0,vx+vm=0,则 S1=Ox-x=0y+Wy=1,;S=0y-Wn=-0x-x=-1,故S,t满足C=R方程,即- 6 - ( ) ∫ ∫ = = = C z r dz z f z dz | | 2 0 1 但显然 ( ) 2 1 z f z = 在 z=0 处不解析。 17.设 f ( )z 与 g( )z 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于 D。如 果 f () () z = g z 在 C 上所有点都成立，试证在C 的内部所有点处 f (z) = g(z)也成立。 证 因 f () () z , g z 在 D 内处处解析故在C 上及其内部也处处解析，设 0 z 为C 的内部的任一点，则由 Cauchy 积分公式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = C C dz z z g z i dz g z z z f z i f z 0 0 0 0 2 1 , 2 1 π π ， 又因在 C 上 f ( )z = g(z)，故 ( ) ( ) ∫ ∫ − = C C − dz z z g z dz z z f z 0 0 ， 从而 () (), 0 0 f z = g z 由 0 z 的任意性，在C 的内部均有 f (z) = g(z)。 18．设区域 D 是圆环域， f ( )z 在 D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 K K 1 2 与 ，K K 2 1 包含 ， 0 z 为 K K1 2 , 之间任一点，试证（3.5.1）仍成立，但 1 2 C KK ( ). − 要换成 见图 + 证明 参照 78 页闭路变形定理的证明方法。 19．设 f ( )z 在 单连通区域 D 内解析，且不为零，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 ( ) ( ) ∫C f z f ' z dz 是否为零？为什么？ 解 等于零。因 f ( )z 在 D 内解析，故 f (z) 具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f '( )z 在 D 内也解析， 又因在 D 内 f ( )z ≠ 0，故 ( ) f ( )z f ' z 在 D 内解析，从而在 C 上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理， 有 ( ) ( ) ∫ = C dz f z f z 0 ' 。 20．试说明柯西－古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？ 21．设 f ( )z 在区域 D 内解析，C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在 D 内但不在C 上 的任意一点 0 z ，等式： 2 0 0 '( ) ( ) ( ) C C f z fz dz dz zz zz = − − v v ∫ ∫ 成立。 证明 利用 Cauchy 积分公式，有 0 0 0 '( ) 2 i '( ) | 2 i '( ) z z C f z dz f z f z z z = = π π = − v∫ ；而由高阶导数公式 0 2 0 0 () 2i '( ) | 2 i '( ) ( ) 1! z z C f z dz f z f z z z π = = = π − v∫ ，故所证等式成立。 22．如果ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 y x s = − ϕ ψ ， x y t =ϕ +ψ 那么 s t + i 是 x + iy 的解析函数。 证明 由ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，而 y x s =ϕ −ψ ， x y t =ϕ +ψ 知，s t, 具有一阶 连续的偏导数，在证 s t, 满足 C－R 方程即可。注意 0 ϕxx yy +ϕ = ， 0 ψ xx yy +ψ = ，则 x yx xx xy yy y s t =−=+ = ϕ ψ ϕψ ； y yy xy xx yx x s t =ϕ − =− − =− ψ ϕψ ，故 s t, 满足 C－R 方程，即