s+it是x+iy的解析函数。 为区城D内的调和函数及/=-,间厂是不是D内的解析函数?为什么2 解∫是D内的解析函数。因a为区域D内的调和函数,故u2和-1在D内有一阶连续的偏导数。 Ou au auau 又 即满足C—R方程。 24.函数v=x+y是u=x+y的共轭调和函数吗?为什么? 解不是。因+iv不能构成一解析函数。 25.设l和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数,那么l也是v的共轭调和函数。这句话对 吗?为什么? 解不对。参考27题的第二问。 证明:一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数 证明设v是u的共轭调和函数,则x+l=0,Vx+"y=0,l1=",ly=-V,。又 ()x=l2+2uV+nyx,(n)y=ly+2+y,故(m)x+(m),=0,即一对 共轭调和函数的乘积仍是调和函数 27.如果∫(二)=l+iv是一解析函数,试证 1)if(=)也是解析函数;2)-是v的共轭调和函数 a|/(=)1|() oy2=4(2+y2)=4|f(=)F。 证明1)if(=)=v-i,而f()=l+iv是一解析函数,故l,v满足C-R方程,进而v2=(-l) -(-u)2。故if(二)也是解析函数 2)由∫(=)=+iv是一解析函数,if()=v-il故-l是v的共轭调和函数 21f()P202|f()P02 =(,+-,)(l2+y2) =2n2+2v2+2u2+2v2+2(x+un)+2vx+n) =4(v2+2)=4f()P 28.证明:=x2-y2和y==22都是调和函数,但是l+不是解析函数 证明 Vy y 6y (x2+y2)(x2+y2)2 则 lnx+n=2+(-2)=0,Vx+(x2+y2)(x2+y2)(x2+y)0。- 7 - s t + i 是 x + iy 的解析函数。 23．设u 为区域 D 内的调和函数及 i u u f x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ ，问 f 是不是 D 内的解析函数？为什么？ 解 f 是 D 内的解析函数。因u 为区域 D 内的调和函数，故 x u 和 y −u 在 D 内有一阶连续的偏导数。 又 2 2 2 2 x y u uuu x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ； 2 y x uu u x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ，即满足 C－R 方程。 24．函数vxy = + 是uxy = + 的共轭调和函数吗？为什么？ 解 不是。因u v + i 不能构成一解析函数。 25．设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那么u 也是v 的共轭调和函数。这句话对 吗？为什么？ 解 不对。参考 27 题的第二问。 26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 证明 设v 是u 的共轭调和函数，则 0 xx yy u u + = ， 0 xx yy v v + = ， x y u v = ， y x u v = − 。又 () 2 xx xx x x xx uv u v u v uv =+ + ， () 2 yy yy y y yy uv u v u v uv = + + ，故() () 0 xx yy uv uv + = ，即一对 共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 27．如果 f () i z uv = + 是一解析函数，试证： 1）i () f z 也是解析函数； 2）−u 是v 的共轭调和函数； 3） 2 22 2 22 2 2 2 | ( )| | ( )| 4( ) 4 | '( ) | x x fz fz u v fz x y ∂ ∂ + = += ∂ ∂ 。 证明 1）i () i f z vu = − ，而 f () i z uv = + 是一解析函数，故u v, 满足 C－R 方程，进而 ( ) x y v u = − ， ( ) y x v u =− − 。故i () f z 也是解析函数。 2）由 f () i z uv = + 是一解析函数，i () i f z vu = − 。故 −u 是v 的共轭调和函数。 3） 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 | ( )| | ( )| ( )( ) fz fz u v x y xy ∂ ∂ ∂∂ + =+ + ∂ ∂ ∂∂ 2222 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4( ) 4 | '( ) | x x y y xx yy xx yy x x u v u v uu u vv v u v fz = ++++ + + + = += 28．证明： 2 2 ux y = − 和 2 2 y v x y = + 都是调和函数，但是u v + i 不是解析函数。 证明 2 x u x = ， 2 y u y = − ， 2 22 2 ( ) x xy v x y − = + ， 2 2 2 22 ( ) y x y v x y − = + ， 2 2 23 2 22 8 2 ( )( ) xx xy y v x y xy = − + + ， 3 2 23 2 22 8 6 ( )( ) yy y y v x y xy = − + + ，则 2 ( 2) 0 xx yy u u + = +− = ， 2 3 2 23 2 23 2 22 888 0 ( )( )( ) xx yy xy y y v v xy xy xy += + − = +++