例3求方程y+y4+2y3)+2y"+y+y=0的通解 解特征方程为r35+r4+2r3+2r2+r+1=0 (r+1)r2+1)=0 特征根为n=-1,==J,n4==-J 故所求通解为 y=Ce+(C2+C3x)cosx+(C4+Csx)sin x 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根 (3)根据特征根的不同情况得到相应的通解 y+py+gy=0 r+pr+q=0 匚特征根的情况 通解的表达式 实根r≠ 实根 12 y=(C+Cx)e 复根2=a±1y=e(ck+CsmA 思考题 求微分方程yy-()2=y2hy的通解 思考题解答 y≠0·J () In y, (ny)=2,:(any) 令二=ny则z"-z=0,特征根=± 通解z=C1ex+Ce∴hy=Ce2+C,e-x4 例 3 2 2 0 . 求方程 y (5) + y (4) + y (3) + y  + y  + y = 的通解 解 特征方程为 2 2 1 0, 5 4 3 2 r + r + r + r + r + = ( 1)( 1) 0, 2 2 r + r + = 特征根为 1, , , 1 2 3 4 5 r = − r = r = j r = r = − j 故所求通解为 ( ) cos ( )sin . 1 2 3 4 5 y C e C C x x C C x x x = + + + + − 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. y  + py  + qy = 0 0 2 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r  r 实根 1 2 r = r 复根 r1,2 =  i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 思考题 求微分方程 yy (y ) y ln y 2 2  −  = 的通解. 思考题解答  y  0, ( ) ln , 2 2 y y yy y =  −   ln y, y y =           (ln ) , y y y x  =   (ln y) = ln y,   令 z = ln y 则 z  − z = 0, 特征根  = 1 通解 x x z C e C e − = 1 + 2 ln . 1 2 x x y C e C e −  = +