N有一对共轭复根(△<0) 特征根为F=a+jB,1=a-jB, y a+jB)x V2=e(a-jB)r 重新组合=(1+y2)=e"cos,y2=(y1-y2)=esn, 得齐次方程的通解为y=e"(C1cos+C2six) 定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 例1求方程y+4y+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0 解得F=n2=-2 故所求通解为y=(C1+C2 例2求方程y+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0 解得12=-1±2j 故所求通解为 y=e(CI cos 2x+C2 sin 2x) 、n阶常系数齐次线性方程解法 P-y+P,y=0 特征方程为r"+Prn+…+Pnr+P=0 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r (Co+C1x+…+Ck-1x-)e 若是k重共轭 C+C1x+…+C1x)cost 复根a±jB +(D+Dx+…+Dx)sn 注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且 每一项各一个任意常数y=Cy+C2y2+…+Cnyn3  有一对共轭复根 (  0) 特征根为 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e +  = , ( ) 2 j x y e −  = 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x   = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x   = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 y e C x C x x    = + 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 例 1 求方程 y +4y +4y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = + 例 2 求方程 y +2y +5y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = −  j 故所求通解为 ( cos2 sin 2 ). 1 2 y e C x C x x = + − 三、n 阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + −  + = − y P y P y P y n n n n  特征方程为 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n r Pr  P r P 注意 n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且 每一项各一个任意常数. n n y = C y +C y ++C y 1 1 2 2 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ −  j k 复根  若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x    ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1 − − − − + + + + + + +  