教学内容 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 +Pyo+…+Pny'+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y t py ta 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+py+y=f(x) 二阶常系数齐次线性方程解法 y"+py+qy=0-特征方程法 设y=e",将其代入上方程,得(r2+pr+q)e"=0 e"≠0,故有r2+pr+q=0特征方程 特征根 N有两个不相等的实根(△>0) 特征根为F= p+√p2-4q 两个线性无关的特解y=en,y2=e2x, 得齐次方程的通解为y=C1e1+C2e2 N有两个相等的实根(△=0) 特征根为=2=-P,一特解为y=e", 设另一特解为y2=u(x)e1, 将y2,y,y代入原方程并化简, l"+(2r+p川'+(2+p+q)u=0 知”=0,取(x)=x,则y2=xe 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e 22 教 学 内 容 一、定义 n 阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + −  + = −  二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y  + py  + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y  + py  + qy = f (x) 二、二阶常系数齐次线性方程解法 y  + py  + qy = 0 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e  0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特征根 , 2 4 2 1,2 p p q r −  − =  有两个不相等的实根 (  0) 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e +C e  有两个相等的实根 ( = 0) 特征根为 , 2 1 2 p r = r = − 一特解为 , 1 1 r x y = e ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 将 y2 ，y2  ，y2  代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u  = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C +C x e