例2证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根.（补充题） 证：1)存在性. 设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在0,1]连续，且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在xo∈(0,1)，使 f(xo)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性. 假设另有x1∈(0,1)，x+xo,使f(x)=0,f(x)在以 x0,为端点的区间满足罗尔定理条件，在x0,X之间 至少存在一点5，使'(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真！ 2009年7月3日星期五 10 目录 (上页>（下页）返回2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 015 5 xx =+− ,15)( 5 xxxf +−= f = f = − .3)1(,1)0( ,0)( f x 0 = ,)1,0( 1 01 ∈ ≠ xxx )1(5)( 4 ′ xxf −= < x ∈ ),1,0(,0 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f x)( 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 ,)1,0( 由介值定理知存在 x 0 ∈ 使 即方程有小于 1 的正根 . 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 ,0)( 使 xf 1 = ∵ xf )( 在以 10 , xx 为端点的区间满足罗尔定理条件 , ∴ 在 , xx 10 之间 至少存在一点 ξ , 使 f ′ ξ = .0)( 但 矛盾 , 故假设不真 ! 设 例2 证明方程 （补充题）