第四章导数的应用 f(x)2f(x,)+f'(x2(x-x) f(x3)≥f(x2)+f(x2)(x3-x2) →Af(x)+uf(x3)≥4((x2)+f(x2)(x1-x12)+ +u0((x2)+f(x2)(x1-x1)=f(x2) 定义:如果曲线y=f(x)上一点在x0点的两侧有相反的凸性,则称 x0为曲线y=f(x)的一个拐点 定理(拐点的必要条件)设函数f(x)有二阶导数,如果x0点是曲线 y=f(x)的一个拐点,则必有f"(xo)=0 (C)曲线的曲率: 曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲 线为y=f(x),设曲线 在P点切线与x轴夹角是9, +9 在Q点切线与x轴夹角是9A9 则曲线在P点处弯曲程度可用从P点 到Q点单位弧长上切线的转角来度量 即 xx+△r p=mn△9d9 如果这个极限存在,则称之为曲线在P点的曲率 若函数y=f(x)二阶可导,则曲率很容易计算 因为9=arcg()→d9= d=√t)+(d)=1+(y)d 从而得到曲率公式:≈9 (+() 曲率的倒数称为曲率半径:r=1 容易验证,园x2+y2=r2的曲率半径就是园的半径 事实上,2x+2y=0=y=-1=y=-y2 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) 1 2 2 1 2 f (x )  f (x ) + f (x ) x − x , ( ) 3 2 2 3 2 f (x )  f (x ) + f (x ) x − x ;   f (x1 ) +  f (x3 )  (f (x2 ) + f (x2 )(x1 − x2 ))+ ( ( )) 2 2 1 2 +  f (x ) + f (x ) x − x = ( ) 2 f x . 定义: 如果曲线 y = f (x) 上一点,在 0 x 点的两侧有相反的凸性, 则称 0 x 为曲线 y = f (x) 的一个拐点. 定理(拐点的必要条件): 设函数 f (x) 有二阶导数, 如果 0 x 点是曲线 y = f (x) 的一个拐点, 则必有 f (x0 ) = 0. (C) 曲线的曲率: 曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲 线为 y = f (x) , 设曲线 在 P 点切线与 x 轴夹角是 ; 在 Q 点切线与 x 轴夹角是+ . 则曲线在 P 点处弯曲程度可用从 P 点 到 Q 点单位弧长上切线的转角来度量， 即 ds d x s    =   =  →0 lim , 如果这个极限存在，则称之为曲线在 P 点的曲率。 若函数 y = f (x) 二阶可导，则曲率很容易计算： 因为  = arctg(y )  ( ) dx y y d 2 1+    = ; ds (dx) (dy) (y ) dx 2 2 2 = + = 1+  ; 从而得到曲率公式：  = ( ( ) ) 2 3 2 1 y y ds d +   =  . 曲率的倒数称为曲率半径： r =1  . 容易验证，园 2 2 2 x + y = r 的曲率半径就是园的半径： 事实上， 2x + 2yy  = 0  y x y  = −  2 y y xy y −   = − ， y y=f(x) Q + s y P dy x x x+x x