第四章导数的应用 f(x)≥ (x)x≥f(x) 可见导凸函数的导函数是增加的。 证充分性:f(x)↑→利用有限增量公式, 3523>51 f(x3)-f(x2) =/(5,)≥r()=x →f(x)-f(2)≥3((x)-f(x)=2(x)-/(x) x2-x1 f(x2)≤4f(x)+f(x3) (3)(用二阶导数判定函数的凸性) 设函数∫在区间[a,b]有二阶导数,则1在区间[a,b]下凸的充分 必要条件是在区间[ab恒有f"(x)≥0 证明:利用(2)是显然的。 (4)(用切线位置判定函数的凸性) 设函数∫在区间{a,b连续在(a,b)可导则1在区间[a,b]下凸 的充分必要条件是xo∈[a,b] f(x)≥f(x0)+f(x0)(x-x0),Wx∈[a,b]成立 其几何意义是,曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下 证明:证必要性:∫是凸的→Vx0,x1,x∈[a,b],x0<x1<x (x)-f(x0)f(x1)-f(x0) 让x1→>x0 f(x)-f(x0) f(x),即 f(x)≥f(x)+f(x)x-x0) 证充分性:x0∈[a,b f(x)≥f(x)+f(x0)(x-x),Wx∈{ab成立 x1x2,x3∈[a,b],x1<x2<x3,及原A,4的定义 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 f x x x f x f x f x   − −   , 可见导凸函数的导函数是增加的。 证充分性： f (x)   利用有限增量公式，  23   12 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 23 12 3 2 3 2 x x f x f x f f x x f x f x − − =    = − −    ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 f x f x f x f x x x x x f x f x − = − − − −     ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x   f x + f x (3) (用二阶导数判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 有二阶导数,则 f 在区间 [a, b] 下凸的充分 必要条件是在区间 [a, b] 恒有 f (x)  0 . 证明：利用(2)是显然的。 (4) (用切线位置判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 f 在区间 [a, b] 下凸 的充分必要条件是 [ , ] x0  a b , ( ) 0 0 0 f (x)  f (x ) + f (x ) x − x , x[a, b] 成立. 其几何意义是，曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下。 证明: 证必要性： f 是凸的  , , [ , ] x0 x1 x  a b , x  x  x 0 1  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 x x f x f x x x f x f x − −  − − , 让 1 0 x → x  ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x x x f x f x   − − , 即 ( ) 0 0 0 f (x)  f (x ) + f (x ) x − x 证充分性： [ , ] x0  a b , ( ) 0 0 0 f (x)  f (x ) + f (x ) x − x , x[a, b] 成立 , , [ , ] x1 x2 x3  a b , 1 2 3 x  x  x , 及原 ,  的定义: