第四章导数的应用 +入2+…+n=1的n个非负数A1,2,…n(称为凸组合) 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合,即 λ1f(x,) 证明:利用数学归纳法。 (2)(用一阶导数判定函数的凸性) 设函数∫在区间[a,b]连续在(a,b)可导则1在区间[a,b]下凸 的充分必要条件是f(x)在区间[a,b]单调增加 证:Vx1∈[a,b],i=1,2,3 且x1<x2<x y=f(x/ fxn (x a I y (axu x=人x1+LD 3 证必要性:f是凸的→f(x2)≤4f(x1)+(x3) f(x2)-f(x)≤((x3)-f(x1) f(x2)-f(x)f(x3)-f(x1) x-x ∫是凸的→f(x2)≤4f(x1)+y(x) →f(x3)-f(x2)≥A((x3)-f(x1) (x)-/(x2)2/(x)-/(x) f(x)-f(x2)、f(x)-f(x1)、f(x2)-f(x1) 分别让x2→>x3和x2→x1,得 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 1 + 2 ++ n =1 的 n 个非负数    n , , , 1 2  (称为凸组合), 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即   = =        n i i i n i i i f x f x 1 1   ( ) . 证明：利用数学归纳法。 (2) (用一阶导数判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 f 在区间 [a, b] 下凸 的充分必要条件是 f (x) 在区间 [a, b] 单调增加. 证： x [a,b]  i  , i = 1,2,3 , 且 1 2 3 x  x  x . 令 3 1 3 2 x x x x − −  = ,  = −  − − = 1 3 1 2 1 x x x x . 则 2 1 3 x =  x + x . 证必要性： f 是凸的  ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x   f x + f x  ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 1 3 1 f x − f x   f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 2 1 2 1 x x f x f x x x f x f x − −  − − f 是凸的  ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x   f x + f x  ( ) ( ) ( ( ) ( )) 3 2 3 1 f x − f x   f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x − −  − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x x x f x f x − −  − −  − − , 分别让 2 3 x → x 和 2 1 x → x , 得: y y=f(x) f(x1) f(x3) f(x2) a x1 x2 x3 b x