四章导数的应用 f(1)=1- 1+t2√1+t n.(2+-2-h(+)=,g(0, 其中,g()=2√+t-2-h(+1) 因g(0)=0.,g(x) >0→g()>0 (方法三)把不等式变成:t>0, √+1~如(1+1) 设f(1) l(1+1),今要证:Vt>0,f(t)>0 f()=1+/2 1+t|>0 因为: √1+t|-0=1+ 2 2 +F0 (B)函数的凸性 在研究函数∫(x)图形时,仅仅知道其增减性是不够的,还有一个曲 线的凸凹问题 定义设∫:[a→R,如果x1,x2∈[a,b,不等式 f(1x1+A2x2)≤A1f(x1)+2f(x2) 对任意两个满足A1+A2=1,的非负实数A1和A2成立.则称\在区间 [a,b]是下凸或称为凸的,其几何意义是,曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上 如果f(1x1+2x2)≥A1f(x1)+2f(x2) 则称飞在区间[a,b]上凸的,或称为凹的 凸函数有如下重要性质: (1)1在区间[a,b]是下凸的,则Vx1,x2,…,xn∈[a,b],以及满足 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( t) t t f t + + − +  = − ln 1 2 1 1 1 1 ( ) 1 , ( ( )) ( ) 2 1 1 2 1 2 ln 1 2 1 1 g t t t t t + + − − + = + = , 其中， g(t) = 2 1+ t − 2 − ln(1+ t), 因 0 1 1 1 1 (0) 0, ( )  + − + =  = t t g g x  g(t)  0 . (方法三) 把不等式变成： t  0, ln(1 ) 1 t t t  + + . 设 ln(1 ) 1 ( ) t t t f t − + + = , 今要证: t  0, f (t)  0 . ( ) ( )       + − + + = + − + +  = t t t t t t f t 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 3 3 >0 因为： 0 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1          +  = −         − = + − +      + − + =   t t t t t t (B) 函数的凸性 在研究函数 f (x) 图形时，仅仅知道其增减性是不够的, 还有一个曲 线的凸凹问题. 定义 设 f :[a,b] → R ,如果  , [ , ] x1 x2  a b , 不等式 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f  x + x   f x + f x 对任意两个满足 1 + 2 =1, 的非负实数 1 和 2 成立. 则称 f 在区间 [a, b] 是下凸或称为凸的; 其几何意义是，曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上。 如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f  x + x   f x + f x 则称 f 在区间 [a, b] 上凸的, 或称为凹的. 凸函数有如下重要性质： (1) f 在区间 [a, b] 是下凸的, 则  n x , x , ,x 1 2  [a,b],以及满足