Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 任何方向取值不会是无限大的,这就要求当x=±1时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间-1≤x≤1上有限,我们必须让l为整数 只有这样,无穷级数才被截断上面第三步特别注意:cm2(n-)cn,y或 y1退化为多项式。这些多项式在区间-1≤x≤1都是有限的。 例如,当l=0时,y(x)=1,y(x)发散.当l=1时,y(x)发散, y1(x)=x.当l=2时,y0(x)=1- 3 2’H(x)发散当l=3时,y(x)发散, y(x)=x-x3.一般地,当l=2n时, y(x)=1+ (2k-2-2n)(2k-4-2n)…(-2n)(2n+1)(2n+3)…(2n+2k-1)x 2(2)(ny(2n+2k)x ) (2k)(n+k)(n-k) y(x)发散。令c1=0,则y(x)=coy0(x)有限。当l=2n+1时,y0(x)发散, H(x)=x+(2k-1-1)(2k-3-1)…(1-1)( +2)(1+4)…(1+2k) 2k+1 (2k+1) H!(n+1)! (2n+2k+2) (2n+2)!0(2k+1)(n+k+1)(n-k) 令co=0,则y(x)=cy(x)有限(正是我们要的解) 如果我们选择co和c1使得当x=1时,y(x)=1,则上面的多项式解称 为 Legendre多项式,并记为P(x).即当l=2n时,选co=(-1 当=2n+1时,选c1=(-1) (需要繁琐的运算,请自己验算) (2n) 例如,当l=0时,y(x)=P(x)=1.当l=1时,y(x)=P(x)=x 当/=2时,x)=P()=1(3x2-)当1=3时yx)=16x2-3) (4n-2k) 般地,当1=2n时,y()2=P2(x)=∑(-1)20k(2n-)(2n=2k) 2n-2k 当l=2n+1时Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x  1 时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。 只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n 2     ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间1 x 1 都是有限的。 例如，当 l  0 时， y0 (x) 1 ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x)  x 1 . 当 l  2 时， 2 0 2 3 y (x) 1 x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x)  x  x . 一般地，当 l  2n 时，                      2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k                     ( ) 1 y x 发散。令 c1  0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x  c y x 有限。当 l  2n 1 时， ( ) 0 y x 发散，                        2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k                            令 c0  0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x  c y x 有限（正是我们要的解）。 如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x 1 时， y(x) 1 ，则上面的多项式解称 为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l  2n 时，选     2 !! 2 1 !! 0 1 n n c n    ， 当 l  2n 1 时，选     2 !! 2 1 !! 1 1 n n c n    .（需要繁琐的运算，请自己验算） 例如，当 l  0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1   .当 l  1 时， 1 y x x x ( ) P ( )   . 当 l  2 时，   2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x    .当 l  3 时 y x 5x 3x 2 1 ( ) 3   . 一般地，当 l  2n 时，       2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k          . 当 l  2n 1 时