Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU (2k-1-1)(l+2k) C 0)(2k-3-)(+2k-2)(+2k) 2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2 (2k-1-)2k-3-)-(1-)(+2)(+2k-2)(+2k) 第五步:写出解的最后形式,确定级数的收敛半径 )=coy(x)+cy(x),其中, x=1+已(2-2-0(2=4-0(0(+)(+2-=3(+26=x (2k-1-1)(2k-3-l)…(1-1)(1+2)…(+2k-2)(+2 y 它们在x<1是收敛的,在≥1是发散的 3.发散解的处理一 Legendre polynomials 可以证明,在=1即当x=±1时,y(x)和y(x)是发散的。例如, y(1)=1+ (2k-2-1)(2k-4-)…(-)(+1)(+2k-3)(+2k-1) k)! 2k+1)(2k+2) (2k-)(+2k+1) l+1 2K 因此,由 Gauss判别法可知,它是发散的[ See Chapter3 2)当1收而当31:2立的 物理要求y±)有界!→问题:能否适当选取参数l,使当x取实数值时,y(x)的 特解在区间;≤1上保持有限?答:yes! 在下篇我们将看到, Legendre'seq中宗量x常常是球坐标中的cosO,因为 O∈z],因而x=c0s∈-1+]我们知道,球对称物理量在球坐标系中Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7                            2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k                                第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x  c y x  c y x ，其中，            2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k                          2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k                 它们在 x 1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x  1 即当 x  1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如，           0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , k 2 ! k l k l l l l k l k y k                  1   2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k                                                              因此，由 Gauss 判 别 法 可 知 ， 它 是 发 散 的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k            当   1 时，   n1 un 收敛；而当   1 时，   n1 un 发散]。 物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的 特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x     cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中