81第一曲线积分 dt (sin g t 4.若曲线以极坐标p=p(0)(01≤0≤02)表示,试给出计算 f(x,y)ds的公式,并用此公式计算下列曲线积分 (1),e+)d,其中L为曲线p=a(≤0≤x)的一段; (2),xd,其中L为对数螺线p=a(x>0)在圆r=a内的部 解因L的参数方程为x=p(0),y=p(0)sn(61≤0≤a2)且 d=√(m)2+()2d=√p(0)+p2(0)d t, (r,y)ds=f(P(0) os0, P(0 )sine)v2(0)+p2(0)d0 /2,2 (1),e ea√a2+0d0 (2),s=acas·√a2e2H+a2k2e2bd0 =a21+k2c2.a=4kn21+k2 4k2+1 5证明:若函数∫在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(a≤t≤P) 上连续,则存在点(x0,y0)∈L使得,,f(x,y)d=f(x0,y)△L 其中△L为L的长 证明由于∫在光滑曲线L上连续,从而曲线积分」,∫(x,y)s 存在,且 f(r,y)ds=f((t),y(r))vr2(t)+y2(t)dt 又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以 fx(t),y()与√x2(t)+y2(t)在[a,B]上连续,由积分中 529