傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中,出现频率最高的术语,就是傅里叶变换, Fourier Transform 81 Fourier变换 9 Fourier级数 在实变函数中,学过下列定理 定理:任意周期为2的函数f(x),如果在每个周期中满足为 Dirichlet条件,即 (a)连续或只有有限个第一类间断点(左右极限存在但不相等,称之) (b)只有有限个极大或极小值 则:f(x)可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f(x)= (an cos nx+ bn sinx), an=- f(x) cos nxd f(x)sin nx dx 级数在函数的连续点收敛于函数值,在第一类间断点x收敛于左右极限之平均:(x)+fx对) 若周期为2h/x+20=/0),可作变量代换:1=x→0)=/1=80→8(+2=80 得到周期为2丌的函数g(,从 28x+m小a- x nx 上式即为任意满足 Dirichlet条件且周期为2l的函数之 Fourier级数 若函数仅在[-l,区间有定义,则可做周期延拓:f(x)=f(x±2D=…,从而 定义在[-l,门区间的满足 Dirichlet条件的函数f(x),可展开为 f(x) 在间断点收敛于左右极限之平均 试将如下函数展为 Fourier级数 forr≤t≤2 f(r) A-厂8 傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中，出现频率最高的术语，就是傅里叶变换，Fourier Transform。 8.1 Fourier 变换  Fourier 级数 在实变函数中，学过下列定理 定理：任意周期为 2 π的函数 f (x)，如果在每个周期中满足为 Dirichlet 条件，即： (a) 连续或只有有限个第一类间断点（左右极限存在但不相等，称之） (b) 只有有限个极大或极小值 则：f (x) 可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f (x) = a0 2 +  n=1 ∞ (an cos n x + bn sin n x), an = 1 π -π π f (x) cos n x x, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x, 级数在函数的连续点收敛于函数值，在第一类间断点 x0 收敛于左右极限之平均： 1 2 f (x0 -) + f (x0 +)  若周期为 2 l：f (x + 2 l) = f (x)，可作变量代换：t = π l x ⟹ f (x) = f  l π t = g(t) ⟹ g(t + 2 π) = g(t) 得到周期为 2 π 的函数 g(t)，从而 g(t) = a0 2 +  n=1 ∞ (an cos n t + bn sin n t), an = 1 π -π π g(t) cos n t t, bn = 1 π -π π g(t)sin n t t f (x) = a0 2 +  n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , an = 1 l -l l f (x) cos n π x l x, bn = 1 l -l l f (x)sin n π x l x 上式即为任意满足 Dirichlet 条件且周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数。 若函数仅在[-l, l ] 区间有定义，则可做周期延拓：f (x) = f (x ± 2 l) = ⋯，从而： 定义在 [-l, l ] 区间的满足 Dirichlet 条件的函数 f (x)，可展开为 f (x) = a0 2 +  n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , 在间断点收敛于左右极限之平均 (1.1) ☺ 试将如下函数展为 Fourier 级数 f (x) = t for 0 ≤ t ≤ π t - 2 π for π ≤ t ≤ 2 π 解：an = 1 π -π π f (x) cos n x x = 0, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x = (-1)n-1 2 n