2|z08 a fourier变换nb c1ear【"G1。aba1`*"] f【x_]:=If[xs丌,x,x-2丌] g[x, ns ]:= Sum[b[n] Sin[nx], [n, l, ns]]i Pot[{g【x,5],g[x,25],g[x,50],f【x]},{x,0,2丌 ends Placed [LineLegend[ [style[n= 5", Italic, 10] style["n 25", Italic, 10], Style["n 50", Italic, 10] LegendMarkerSize + [30,1]], [Scaled[[6,0.6]],[0,0. 2533]] n=50 Fourier积分 利用Euer公式:cosx=)(ex+e-2),smnx=;(ex- 周期为2/的函数之 Fourier级数可写成更为简洁的复数形式 f(x)=-+ ∑,a-b)c+(a+b)c=“ 其中cn的表达式有统一的形式: f(x)dx= f(r) 221 f(x)(cos kn x-isin ka x)dx= f(r)e-ikei dx, n>0 a-n+ib-n 1 for)(cos kn x-i sin kn x)dx f()e-ika dx, n<O 故,对周期为2l的函数f(x),有复数形式的 Fourier级数: f(x)=>Cn elks, kn= C,=2I/()e-iksdx 如何推广至非周期情况?视为周期2/且定义于[-,区间的函数,再让1→∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式?展开形式应如何变化?Clear["Gloabal`*"] f[x_] := If[x ≤ π, x, x - 2 π]; b[n_] := (-1)n-1 2 n ; g[x_, ns_] := Sum[b[n] Sin[n x], {n, 1, ns}]; Plot[{g[x, 5], g[x, 25], g[x, 50], f[x]}, {x, 0, 2 π}, PlotStyle  {Red, Magenta, Blue, Black}, PlotLegends  Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 25", Italic, 10], Style["n = 50", Italic, 10]}, LegendMarkerSize  {30, 1}], {Scaled[{.6, 0.6}], {0, 0.25}}]] n = 5 n = 25 n = 50 1 2 3 4 5 6 -4 -2 2 4  Fourier 积分 利用Euler公式：cos x = 1 2  x + - x, sin x = 1 2   x - - x, 周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数可写成更为简洁的复数形式 f (x) = a0 2 +  n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x = a0 2 +  n=1 ∞ 1 2 (an -  bn)  n π x/l + 1 2 (an +  bn) - n π x/l =  n=-∞ ∞ cn  n π x/l 其中 cn 的表达式有统一的形式： c0 = a0 2 = 1 2 l -l l f (x) x = 1 2 l -l l f (x) -  k0 x x cn = an -  bn 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x -  sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) -  kn x x, n > 0 cn = a-n +  b-n 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x -  sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) -  kn x x, n < 0 故，对周期为 2 l 的函数 f (x)，有复数形式的 Fourier 级数： f (x) =  n=-∞ ∞ cn  kn x, kn = n π l , cn = 1 2 l -l l f (x) - kn x x 如何推广至非周期情况？视为周期 2 l 且定义于 [-l, l] 区间的函数，再让 l  ∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式？展开形式应如何变化？ 2 z08a Fourier 变换.nb