z08 a Fourier变mb3 还是从复数形式的 Fourier级数出发 f(x)=Scnc;,k1=",1→∞时,k→0?非也!因为n从-∞到+∞求和 f(x) △kn=kn+1-kn=-=△k与n无关,且1→∞时,△kn=△k→0 Ca elkax△kn,因为△k→0,求和变为积分 ak。acd其中a=c=-1 2/()e-ikI dx 2///A(r)e-ikzdx f(x) e-ikrdxelkx dk,注意△k=△=-,2l△k=2 在l→∞时,进一步改写成 f(x)= f(Ee-iks dsledkr dk f(k) eikx dk称为 Fourier积分 J()=f(Se-iksds 那么上述一系列貌似正确的推导,在什么条件下成立 (a)函数f(x)在任意有限区间内满足 Dirichlet条件 充分条件:1(6CedE有界,或称为/(绝对可积 实际上,条件()还可弱化为平方可积,即: AvIsPas<∞,相应的,这时的收敛退化为平均值收敛,即: limf( f(k) elks dr→0 容易推广至三维 f(x,y,-)= f(r,y,s)e-i( #+k, 3+k:) d=el(x+k J+h 3), dk, dk2 (2r)3 写成三角函数形式 1 f(Se-s ds elkxdk a M/eeku-odgdk ds I(E cos k(r-4)+i 3 dE f(E) cos k(r-s)dk dk f(E)cos k(x-5ds f(a cos ke cos kxdk+ f(E)sin ksds sin kxdk I [A(K)cos kx+B(k)sin kx] dk f(S)cosksds,B()=-/(sinks da ▲写成三角函数形式有何好处 当f(x)为偶函数时:f(x) A(k)cos kxdk, A(k)= 当f(x)为奇函数时:f(x)=B(k) sin kxdx,Bk)=- f(E)sinkEd还是从复数形式的 Fourier 级数出发 f (x) =  n=-∞ ∞ cn  kn x, kn = n π l , l  ∞ 时，kn  0? 非也 ! 因为 n 从 - ∞ 到 + ∞ 求和。 f (x) =  n=-∞ ∞ cn  kn x Δkn 1 Δkn , Δkn = kn+1 - kn = π l = Δk 与 n 无关，且 l  ∞ 时， Δkn = Δk  0 = 1 Δk  n=-∞ ∞ cn  kn x Δkn, 因为 Δk  0，求和变为积分 = 1 Δk -∞ ∞ ck  k x k, 其中 ck = cn = 1 2 l -l l f (x) -  kn x x = 1 2 l -l l f (x) -  k x x = -∞ ∞ 1 2 l Δk -l l f (x) -  k x x  k x k, 注意 Δk = Δkn = π l , 2 l Δk = 2 π 在 l  ∞ 时，进一步改写成 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) -  k ξ ξ  k x k = 1 2 π -∞ ∞ f  (k)  k x k 称为 Fourier 积分 f  (k) = -∞ ∞ f (ξ) -  k ξ ξ 那么上述一系列貌似正确的推导，在什么条件下成立？ 充分条件 ： (a) 函数 f (x) 在任意有限区间内满足 Dirichlet 条件； (b) -∞ ∞ f (ξ)  ξ 有界，或称为 f (x) 绝对可积 。 实际上，条件 (b) 还可弱化为平方可积，即： ∫-∞ ∞ f (ξ)  2 ξ < ∞，相应的，这时的收敛退化为平均值收敛，即： lim A+∞-∞ ∞ f (t) - 1 2 π -A A f  (k)  k x k 2 t  0 ◼ 容易推广至三维 f (x, y, z) = -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ 1 (2 π)3 -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ f (x, y, z) -  (kx x+ky y+kz z) x y z  (kx x+kz y+kz z) kx ky kz ◼ 写成三角函数形式 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ  k x k = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ)  k (x-ξ) ξ k = 1 2 π -∞ ∞ ξ f (ξ) -∞ ∞ cos k(x - ξ) 偶函数 +  sin k (x - ξ) 奇函数, 积分为0 k = 1 π -∞ ∞ ξ f (ξ) 0 ∞ cos k(x - ξ) k = 1 π 0 ∞ k -∞ ∞ f (ξ) cos k(x - ξ) ξ = 0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k +0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ sin k x k = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ ▲ 写成三角函数形式有何好处？ 当 f (x) 为偶函数时 ：f (x) = 0 ∞ A(k) cos k x k, A(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ 当 f (x) 为奇函数时 ：f (x) = 0 ∞ B(k) sin k x x, B(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ z08a Fourier 变换.nb 3