z08 a fourier变换nb 9 Fourier变换 Fourier积分 f(x)= flse-iks dslel kx 改写为 =2Cc“称为的反四变换 f(k)=f()eksd∈称为函数f(x)的 ourier变换 f()=U(x),也称像函数:f(x)=f{(),也称原函数 量子力学中,粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数,是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier变换 若f(x)是奇函数或偶函数,常写成三角函数形式,进行正弦变换和余弦变换 由三角函数形式的变换 f(x)= [A(k)cos kx+B(k)sin kx]dk, A()=- f(E)cos ked, B(k)=f(e sin kedE f(x)= f(E)cos ksds cos kxdk+ f(S) sin ksds sin kxdk 若f(x)为奇函数,上式第一项为0 fsf(r)I=- 2、16 sin kede=| )sin kE ds=jsk)正弦变换 Fs(sk)]==[7s(k)sin krak=f() 若f(x)为偶函数,(1.2)式第二项为0 fm=6 cos ksde=|6) cos ked=c(k)余弦变换 2 fc(k)cos kxdk=f(x) ■三维空间的 Fourier变换 +∞c 千U(x,y,=f(kx,k,k)= f(x,y, s)e-i( i+ky +kadxdyd= 于-kx,k,k)=f(x,y,)= f(kr, ky, k)e(x+ky J+k =)dkr dk, dk ■四维时空的 Fourier变换 f(x,y, ne-a krx+hr y+k=)+iw dx dy d:dt f(kr, k,, ks, w)e(k 1+k, J+k =)-iut dkr dk, dke dw (2 ■ Fourier变换的物理意义 若f(x)=0(x),则: Fourier变换 Fourier 积分 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) -  k ξ ξ  k x k 改写为 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ f  (k)  k x k 称为 f  (k) 的反 Fourier 变换 f  (k) = -∞ ∞ f (ξ) -  k ξ ξ 称为函数 f (x) 的 Fourier 变换 记为： f  (k) = ℱ[f (x)], 也称像函数； f (x) = ℱ-1f  (k), 也称原函数 量子力学中，粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数，是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier 变换。 若f (x) 是奇函数或偶函数，常写成三角函数形式，进行正弦变换和余弦变换。 由三角函数形式的变换 f (x) = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k, A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ 即： f (x) = 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k + 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ sin k x k (1.2) 若 f (x) 为奇函数，上式第一项为 0 ℱS[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = f  S(k) 正弦变换 ℱS -1f  S(k) = 2 π 0 ∞ f  S(k)sin k x k = f (x) 若 f (x) 为偶函数，(1. 2) 式第二项为 0 ℱC[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = f  C(k) 余弦变换 ℱC -1f  C(k) = 2 π 0 ∞ f  C(k) cos k x k = f (x) ◼ 三维空间的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z)] = f  (kx, ky, kz) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z) -(kx x+ky y+kz z) x y z ℱ-1f  (kx, ky, kz) = f (x, y, z) = 1 (2 π)3 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f  (kx, ky, kz) (kx x+ky y+kz z) kx ky kz ◼ 四维时空的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z, t)] = f  (kx, ky, kz, ω) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z, t) -(kx x+ky y+kz z) + ω t x y z t ℱ-1f  (kx, ky, kz, ω) = f (x, y, z, t) = 1 (2 π) 4 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f  (kx, ky, kz, ω) (kx x+ky y+kz z) - ω t kx ky kz ω ◼ Fourier变换的物理意义 若 f (x) = δ(x), 则： 4 z08a Fourier 变换.nb