z08 a fourier变换mb5 f()=fU(x)= (De-iksds= 8(Se-iksdf=l ()==16=1C1.etdx=/(=x 物理上,若将x视为时间,k视为圆频率,则(x)可视为时域的一个尖脉冲, 对应地,在频域中,f(k)=1,表明它包含了所有的各种频率分量,且各频率分量振幅和相位相等 反之,若在频域中仅仅包含一个频率分量,对应于像函数为 delta函数 域上看,有 =2厂a4ck=2的确,在时域上看,是单二频率与的时振荡 因此,若将x视为时间 Fourier变换其实是将一个随时间任意变化的函数f(x),分解为各种频率分量f(k)的叠加。 像函数f(k)给出不同频率分量的振幅及相位。这一点,将在下一节“色散关系”中展现得更为清楚。 若将x视为空间坐标,k视为波矢量,则单一个波矢量的波:y=ek充满整个空间 反过来,若一个波在局域在空间某有限区域,则它必定由波矢量不同的波叠加而成 Q求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier变换的一些计算技巧,有些技巧貌似不严谨,但在物理中常用,其数学基础是广义函数论, 目例题:f(x)=e-,求f(k) AF: /()=/f()e-lkidx= e+ eikx dx=i-ik I+ik 1+k2 自例题:f(x)=6(x),求f(k)。看起来更为严格的证明。 解:f(k)=|fxe o(r)e-kx 反变换:于1y=C0dk= elk dk=d(x),怎么看起来有点怪? 这里涉及: Cauchy主值积分(是积分主值,不是积分的一般值,后者其实是不收敛的) 积分主 ekr dks lim sinx 看出”x,不同n值的图形如下 sin(n x) sin(nx) n=200 n=2000 随n增大,儿()的峰越来越高、越来越窄,似乎暗示着|x)=lm5x→6x)?然也。证据 考虑函数序列:ln(x)= ,要“证明”lim(x)→o(x),需验证以下两点 (a)随n增大,ln(x)在x=0的峰可任意高,任意窄 (b)对ln(x)的积分,在 时应(仍然)为1f  (k) = ℱ[f (x)] = -∞ ∞ f (ξ) -  k ξ ξ = -∞ ∞ δ(ξ) -  k ξ ξ = 1 f (x) = ℱ-1f  (k) = 1 2 π -∞ ∞ 1·  k x x = f (x) = δ(x) ⟹ δ (x) = 1 2 π -∞ ∞   k x x 物理上，若将 x 视为时间，k 视为圆频率 ，则 δ(x) 可视为时域的一个尖脉冲 ， 对应地，在频域中 ，f  (k) = 1，表明它包含了所有的各种频率分量 ，且各频率分量振幅和相位相等 。 反之，若在频域中仅仅包含一个频率分量 ，对应于像函数为 delta 函数：δ(k - k0)，在时域上看 ，有 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ δ(k - k0)  k x k = 1 2 π  k0 x 的确，在时域上看 ，是单一频率 k0 的时谐振荡 。 因此，若将 x 视为时间 ： Fourier 变换其实是将一个随时间任意变化的函数 f (x)，分解为各种频率分量 f  (k) 的叠加。 像函数 f  (k) 给出不同频率分量的 振幅及相位 。这一点，将在下一节 “色散关系” 中展现得更为清楚 。 若将 x 视为空间坐标 ，k 视为波矢量 ，则单一个波矢量的波 ：φ = e k z 充满整个空间 ， 反过来，若一个波在局域在空间某有限区域 ，则它必定由波矢量不同的波叠加而成 。  求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier 变换的一些计算技巧，有些技巧貌似不严谨，但在物理中常用，其数学基础是广义函数论。 ☺ 例题：f (x) = -x ，求 f  (k) 解： f  (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ -x - k x x = 1 1 -  k + 1 1 +  k = 2 1 + k2 ☺ 例题：f (x) = δ(x)，求 f  (k)。看起来更为严格的证明。 解： f  (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ δ(x) - k x x = 1 反变换：ℱ-1f  (k) = 1 2 π -∞ ∞ f  (k)  k x k = 1 2 π -∞ ∞  k x k = δ (x) ，怎么看起来有点怪 ？ 这里涉及 ：Cauchy 主值积分 （是积分主值 ，不是积分的一般值 ，后者其实是不收敛的 ） I(x) = 1 2 π -∞ ∞  k x k 积分主值 lim n∞ 1 2 π -n n  k x k = lim n∞ sin n x π x 看 sin n x π x ，不同 n 值的图形如下 。 n = 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -2 2 4 6 8 sin(n x) π x n = 200 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -20 20 40 60 80 sin(n x) π x n = 2000 -0.10 -0.05 0.05 0.10 200 400 600 sin(n x) π x 随 n 增大，I(x) 的峰越来越高 、越来越窄 ，似乎暗示着 I(x) = lim n∞ sin n x π x  δ(x)？ 然也。证据？ 考虑函数序列 ：In(x) = sin n x π x ，要 “证明” lim n∞In(x)  δ(x)，需验证以下两点 ： (a) 随 n 增大，In(x) 在 x = 0 的峰可任意高，任意窄 (b) 对 In(x) 的积分，在 n  ∞ 时应 （仍然） 为 1 z08a Fourier 变换.nb 5