6z08 a Fourier变挽nb (a) lim In(x)=-=lo,故在x=0的峰随n→∞可达任意高 I,(xo) sin n xo 又:x0≠0 lo 只要偏离中心点x=0,函数值与中心值之比趋于0,即:峰可任意窄 (b)limIn(x)dx= dx x=il, dt=1(第四章例题 所以我们有:1(x)= .人kxk=msnx 例题:f(x)=e-hm),a>0,求f(k) -xfMore-ikx dx= (x+kwd2 Pe-wdAA dx=wo√r 其中利用了:e可xdx=W0Vr,可以是复数,这一等式的证明见第二章最后一个例题的推论。 ▲本例说明高斯分布的 Fourier变换依然是高斯分布(差一常数因子) 物理上,高斯光束在横向是高斯分布的 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 并且,光束越窄(对应于a越大)所含的波矢量越“多 在实空间的宽度~w0,在k空间宽度、2 二者之积~2(a) lim x0 In(x) = n π = I0, 故在 x = 0 的峰随 n  ∞ 可达任意高 又：∀ x0 ≠ 0, In(x0) I0 = sin n x0 n x0  0， 只要偏离中心点 x = 0，函数值与中心值之比趋于 0，即：峰可任意窄。 (b) lim n∞-∞ +∞ In(x) x = lim n∞-∞ +∞ sin n x π x x x = t/n -∞ +∞ sin t π t t = 1 （第四章例题 ） 所以我们有 ： I(x) = 1 2 π -∞ ∞  k x k = lim n∞ sin n x π x = δ(x) ☺ 例题：f (x) = -(x/w0)2 , α > 0，求 f  (k) 解：f  (k) = -∞ ∞ -(x/w0)2 - k x x = -∞ ∞ -w0 -2( x+ k w0 2/2)2 -w0 2 k2/4 x = w0 π -w0 2 k2/4 其中利用了 ：-∞ ∞ -w0 -2( x+z)2 x = w0 π , z 可以是复数 ，这一等式的证明见第二章最后一个 例题的推论 。 ▲ 本例说明高斯分布的Fourier变换依然是高斯分布（差一常数因子） 物理上，高斯光束在横向是高斯分布的 ， 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 。 并且，光束越窄 （对应于 α 越大） 所含的波矢量越 “多”。 在实空间的宽度 ∼ w0, 在 k 空间宽度 ∼ 2 w0 二者之积 ∼ 2 6 z08a Fourier 变换.nb