函数的连续性 我们常说曲线是连续的,或说温度的变化是连续的,这都反映了函数的一个 重要特性—连续性。连续是一个很直观的现象。通常我们说一根曲线是连续的, 因为它没有断开,那么什么叫“断开”呢?你若说,不连续就是断开的,这样从 逻辑的角度看,出现了循环定义的现象,也就是说什么也没有定义,因此有必要 给“连续”一个严格的定义。但连续的定义如何给出,却经历了一个漫长的过程。 现代数学给出的连续的定义如下 定义设函数∫在x的某个邻域内有定义。如果函数∫当x→x0时的极限存 在,并且等于它在x处的值,即mmf(x)=∫(x0),则称函数∫在x点连续 显然imnf(x)=f(x0)等价于m[f(x0+△x)-f(x)=0。因此函数在x。点连 r→0 续就是说,当自变量的改变量△x→>0时,函数值的改变量f(x0+△x)-f(x0)也 趋于零。 ∫在x点连续的定义用“E-8”语言表述就是:若对于任意给定的E>0, 总存在δ>0,使得当|x-x0kd时,成立f(x)-f(x0)kE 由连续的定义可以知道,若∫在x点连续,则∫也在x点连续。反之不然。 例如,f(x) 显然f(x)=1,因此∫在x=0点连续。但∫在该 点不连续。 若函数∫在x点连续,g在x0点不连续,则f+g在x点一定不连续。而当 函数∫和g都在x点不连续时,∫+g在x点却可能是连续的。例如在x=0点 x≤0 不连续的函数f(x) 和g(x) l,x≤0, l,x>0 x>0, 总有f(x)+g(x)=0 因此它在x=0点连续。注意此时f(x)g(x)=-1,因此函数g也在x=0点连续。 若函数f,g都在(a,b)上连续,则函数 F(x)=max{f(x),g(x)}和G(x)=min{f(x),g(x)},x∈(a,b) 也在(a,b)上连续。事实上函数的连续性 我们常说曲线是连续的，或说温度的变化是连续的，这都反映了函数的一个 重要特性—连续性。连续是一个很直观的现象。通常我们说一根曲线是连续的， 因为它没有断开，那么什么叫“断开”呢？你若说，不连续就是断开的，这样从 逻辑的角度看，出现了循环定义的现象，也就是说什么也没有定义，因此有必要 给“连续”一个严格的定义。但连续的定义如何给出，却经历了一个漫长的过程。 现代数学给出的连续的定义如下： 定义 设函数 f 在 0 x 的某个邻域内有定义。如果函数 f 当 0 x  x 时的极限存 在，并且等于它在 0 x 处的值，即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   ，则称函数 f 在 0 x 点连续。 显然 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   等价于 lim [ ( 0 ) ( 0 )] 0 0       f x x f x x 。因此函数在 0 x 点连 续就是说，当自变量的改变量 x  0 时，函数值的改变量 ( ) ( ) 0 0 f x  x  f x 也 趋于零。 f 在 0 x 点连续的定义用“    ”语言表述就是：若对于任意给定的   0 ， 总存在   0 ，使得当 | x  x0 |  时，成立 | ( )  ( ) |  0 f x f x 。 由连续的定义可以知道，若 f 在 0 x 点连续，则 | f | 也在 0 x 点连续。反之不然。 例如，        1, 0, 1, 0, ( ) x x f x 显然 | f (x) |1 ，因此 | f | 在 x  0 点连续。但 f 在该 点不连续。 若函数 f 在 0 x 点连续， g 在 0 x 点不连续，则 f  g 在 0 x 点一定不连续。而当 函数 f 和 g 都在 0 x 点不连续时， f  g 在 0 x 点却可能是连续的。例如在 x  0 点 不连续的函数        1, 0 1, 0, ( ) x x f x 和        1, 0, 1, 0, ( ) x x g x 总有 f (x)  g(x)  0， 因此它在 x  0 点连续。注意此时 f (x)g(x)  1 ，因此函数 fg 也在 x  0 点连续。 若函数 f ， g 都在 (a, b) 上连续，则函数 F(x)  max{ f (x), g(x)} 和 G(x)  min{ f (x), g(x)}， x(a, b) 也在 (a, b) 上连续。事实上