F(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x),G(x)=[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)。 闭区间上的连续函数具有一些很好的性质。例如,有界性定理,介值定理, 零点存在定理,最大最小值定理。但这些定理的逆定理却是不成立的。但有时附 加一些条件,却可以成立。例如,若函数∫在[a,b]上单调,且能取到f(a)与f(b) 之间的一切值,则∫在[a,b]上连续。它的证明如下 不妨设∫在[ab]上单调增加。若x∈[a,b。当a<x<b时,由于∫在分别 在区间[a,x],[x0,b上单调增加,且f(x。)分别是它在这两个区间的上界和下 界,因此a=lmf(x)(≤f(x0))和β=mf(x)(≥f(x)皆存在,且由f 的单调增加性知α≤β。若a<β,则∫的单调增加性决定了∫不可能取到 (a,B)c{ab内的值,与假设矛盾。因此lmf(x)=limf(x)=f(x0),即f在 xn点连续。 当x=a或x。=b,同样可以证明∫在x=a点右连续,∫在x=b点左连续, 因此∫在[a,b]上连续。[ ( ) ( ) | ( ) ( ) |] 2 1 F(x)  f x  g x  f x  g x ， [ ( ) ( ) | ( ) ( ) |] 2 1 G(x)  f x  g x  f x  g x 。 闭区间上的连续函数具有一些很好的性质。例如，有界性定理，介值定理， 零点存在定理，最大最小值定理。但这些定理的逆定理却是不成立的。但有时附 加一些条件，却可以成立。例如，若函数 f 在 [a, b] 上单调，且能取到 f (a) 与 f (b) 之间的一切值，则 f 在 [a, b] 上连续。它的证明如下： 不妨设 f 在 [a, b] 上单调增加。若 x[a, b] 。当 a  x0  b 时，由于 f 在分别 在区间 [ , ] 0 a x ，[ , ] x0 b 上单调增加，且 ( ) 0 f x 分别是它在这两个区间的上界和下 界，因此 lim ( ) 0 0 f x xx    （ ( ) 0  f x ）和 lim ( ) 0 0 f x xx    （ ( ) 0  f x ）皆存在，且由 f 的单调增加性知    。若    ，则 f 的单调增加性决定了 f 不可能取到 (, )  [a, b] 内的值，与假设矛盾。因此 lim ( ) 0 0 f x xx  lim ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x     ，即 f 在 0 x 点连续。 当 x0  a 或 x0  b ，同样可以证明 f 在 x  a 点右连续， f 在 x  b 点左连续， 因此 f 在 [a, b] 上连续