称为向量场的强度,它不是一个向量场,记为 curlE或rotF,它的物理意义是“旋涡密度” 个向量场F,若dvF=0,称为无源场,如静磁场就是,即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极;若 curlE=0,称为无旋场,如静电场就是,即不存在封闭的静电力线 aFaF F(x,y,z)是一个数值函数,也称为一个数量场,VF= ay az 称为它的梯度 它是一个向量场,其方向表示F(x,y,z)增加最大的一个方向,大小表示在该方向上的变化 命题:外微分有如下性质: 1)d(4+O2)=do1+do2; 2)d(ko2)=kda 3)d(o?m)=do?n+(-1)o?dn,O∈M,n∈N; 4)O∈A,则d(do)=d2a=0. 证明:1),2)表明外微分是个线性运算,证明是简单的,从略 3)是微分中链锁法则的推广,我们只需对 O=a(x)dx?…?ax n=b(x)dx,?…?dx 来证明,一般情况结果1),2)线性性质可得到.按定义 0?n=a(x)b(x)x?…?dx,?n?…? 再由外微分定义 d(o?n)=∑M)(x)+(x)e) h,?dx?…?dx?n?…? a,,?在??hp(,…?h) +(-1)(x)dr,2?…?d dx dx dx do?n+(1)o?dn 4)如果a(x)∈A,则5 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ × = y P x Q x R z P z Q y R F , , v 称为向量场的强度, 它不是一个向量场, 记为 F v curl 或 F v rot , 它的物理意义是“旋涡密度”. 一个向量场 F v , 若divF = 0 v , 称为无源场, 如静磁场就是, 即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极; 若curlF = 0 v , 称为无旋场, 如静电场就是, 即不存在封闭的静电力线. F( x, y,z) 是一个数值函数, 也称为一个数量场, ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = z F y F x F F , , 称为它的梯度, 它是一个向量场, 其方向表示 F( x, y,z) 增加最大的一个方向, 大小表示在该方向上的变化 率. 命题: 外微分有如下性质: 1） 1 2 1 2 d(w +w ) = dw + dw ; 2）d(kw2 ) = kdw ; 3） k k l d(w?h) = dw?h + (-1) w?dh, w Î L ,h Î L ; 4） k w Î L , 则 ( ) 0 2 d dw = d w = . 证明: 1）, 2）表明外微分是个线性运算, 证明是简单的, 从略. 3）是微分中链锁法则的推广, 我们只需对 l k j j i i b x dx dx a x dx dx ? ? ? ? L L 1 1 ( ) ( ) , = = h w 来证明, 一般情况结果 1）, 2）线性性质可得到. 按定义 k l i i j j ? a x b x dx ? L? dx ? dx ?L? dx 1 1 w h = ( ) ( ) . 再由外微分定义 ( ) ( ) ( 1) . ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w h w h w h d d dx dx dx x b x a x dx dx dx dx dx dx dx x a x dx dx dx dx dx x b x a x x a x d b x k j j n s s s i i k j j n s s i i s n s s i i j j s s k l k l k l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = å å å = = = L L L L L L 4）如果 0 a(x) Î L , 则