它就是通常的函数的一阶微分式,是个1-形式 例2:0=f(x)dx+…+fn(x)axn∈A,则 af dx,? dx dx. dx 它是一个2形式 例3:在R2中O=P(x,y)dhx+Q(x,y)∈N,则 dv? dx dx? dy ? ax ay 例4在R3中O=P(x,y,z)ax+Q(x,y,)dy+R(x,y,)d∈A,则 aR 00 ly? d=+oP OR ao aP d=? dx+ ?dy ay ax ay dy? dz d=? dx dx? dyl R 后一种表达式对R3是一种偶然,对一般R”没有这么简捷的表达式 例5:在R中O=P(x,y,z)dh?止+Q(x,y,zM?dx+R(x,y,z)d?∈A2,则 eP a0 aR dx? dv? dz 如果F=(P,QR是三维空间中的一个向量场,比如流体运动的速度场,电磁波中的 电场强度或磁场强度,或一个力场,用V aa表示向量微分算子则 000 OQ+ OR=vE 称为向量场的散度,也记为dF,它的物理意义是“源泉密度”.在流体力学中,dvF>0 表示该点是“源泉”(出水之处),divF<0时表示该点是“源尾”(漏水之处);在电场中, dvF>0表示正电荷密度,dvF<0表示负电荷密度4 它就是通常的函数的一阶微分式, 是个 1-形式. 例 2: 1 1 1 w = f (x)dx +L+ f n (x)dxn Î L , 则 , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 å å å å - = = = = ¶ ¶ + + ¶ ¶ = - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = n j j n j n n j j j n n j j j n n j j j dx dx x f dx dx x f dx dx x f dx dx x f d ? ? ? ? L w L 它是一个 2-形式. 例 3: 在 2 R 中 1 w = P(x, y)dx +Q(x, y)dy Î L , 则 dx dy y P x Q dx dy x Q dy dx y P d ? ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ w = . 例 4: 在 3 R 中 1 w = P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz Î L , 则 . P Q R x y z dy dz dz dx dx dy dx dy y P x Q dz dx x R z P dy dz z Q y R d ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ? ? ? w ? ? ? 后一种表达式对 3 R 是一种偶然, 对一般 n R 没有这么简捷的表达式. 例 5: 在 3 R 中 2 w = P(x, y,z)dy?dz + Q(x, y,z)dz?dx + R(x, y,z)dx?dy Î L , 则 dx dy dz. z R y Q x P d ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ w = 如果 F = (P,Q, R) v 是三维空间中的一个向量场, 比如流体运动的速度场, 电磁波中的 电场强度或磁场强度, 或一个力场, 用 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = x y z , , 表示向量微分算子, 则 F z R y Q x P v = Ñ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 称为向量场的散度, 也记为 F v div , 它的物理意义是“源泉密度”. 在流体力学中, divF > 0 v 表示该点是“源泉”（出水之处）, divF < 0 v 时表示该点是“源尾”（漏水之处）; 在电场中, divF > 0 v 表示正电荷密度, divF < 0 v 表示负电荷密度