A:dx,dx…,dx, A: dx, dx,, dx, dxa, .. dx,? dx dx1?dx2?…?dx 例如A中元素一般可写为 f,(xdx f (x)dx 它就是我们熟知的1阶(微分)形式,它有形式不变性,即在坐标变换下,形式不变A2中 元素一般可写为 ∑f(x)t?dx, 当n=3时,有一个数值函数∫(x)=∫(x1,x2,x),它就是一个0-形式;它的微分 f(x)kx1+f(x)dx2+f3(x)dx3是一个1-形式;再有一个向量值函数(P,Q,R),则 Pdx2?ax3+Qdx3?dx1+Rtx1?dx2就是一个2-形式,由它可生成一个3-形式 ("+Q2+Rk?2? 般地,两个微分形式 fsdx2?…?t n ∑gsa?…? 我们用 Grassmann中乘法?定义它们的外积ξ?n,它也是一个微分形式 1.3外微分 对于一个微分形式,我们可定义它的外微分 定义:令0=∑f(x)b,?…,?∈A,定义它的外微分如下 ,(x) dx?dx.?…?dx.eA 例1:在R”中f(x)∈A°,则 afr af,3 : . : , , , : , , , :1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 例如 1 L 中元素一般可写为 n dxn f (x)dx f (x) 1 1 +L+ , 它就是我们熟知的 1 阶（微分）形式, 它有形式不变性, 即在坐标变换下, 形式不变. 2 L 中 元素一般可写为 åi< j ij i j f (x)dx ?dx . 当 n = 3 时, 有一个数值函数 ( ) ( , , ) 1 2 3 f x = f x x x , 它就是一个 0-形式; 它的微分 1 1 2 2 3 3 f ¢(x)dx + f ¢(x)dx + f ¢(x)dx 是一个 1- 形式; 再有一个向量值函数 (P,Q,R) , 则 Pdx2? dx3 + Qdx3? dx1 + Rdx1? dx2就是一个 2-形式, 由它可生成一个 3-形式 ( ) 1 2 3 1 2 3 P Q R dx dx dx x ¢ + x ¢ + x ¢ ? ? . 一般地, 两个微分形式 { } { } { } { } , , , , 1,2, , , , 1,2, , 1 1 1 1 å å = Ì = Ì = = S i i n S i i S i i n S i i k k k k g dx dx f dx dx L L L L L L ? ? ? ? h x 我们用 Grassmann 中乘法? 定义它们的外积x?h , 它也是一个微分形式. 1.3 外微分 对于一个微分形式, 我们可定义它的外微分. 定义: 令 k i i i n i i i i k k k = å f x dx dx Î L £ < <L< £ L L 1 2 1 1 1 w ( ) ? ? , 定义它的外微分如下 1 1 1 2 1 1 ( ) + £ < < < £ Î L ¶ ¶ = å å k i i i n j i i j i i k k k dx dx dx x f x d L L w ? ? L? . 例 1: 在 n R 中 0 f (x)Î L , 则 n n n dx x f dx x f df x ¶ ¶ + + ¶ ¶ = 1 L 1 1 ( )