(ea+c2e2+c3e2)?(d1e1+d2e2+d3e3) =(cd2-c2d1)e?e2+(c1d3-c3d1)e1?e3+(c2d3-c3d2)e2?e3 如果有三个元素a1e1+a2e2+a3e3,be1+b2e2+be3和ce1+c2e2+C3e3,它们三者的外 (a1e1+a2e2+a3e3)?(,e1+b2e2+be3)?(;e1+c2e2+ce3) 例2:Gn中有基向量2″个,分阶表示为 1维 维 A2:e?e2e?e3…en?enC2维 A.e.?e.?...? 1维 每个子空间A(称为k阶元素)维数为C,总维数为∑Ch=2”.显然有 A?ACA 即k阶元素与l阶元素的外积是k+l阶元素,如果k+l>n时,外积为0 Gn是个非交换、不可除但结合的代数,也称为外代数 1.2R"中微分形式 在R”的微分学中,我们有n个基本一阶微分元素dx1…,dxn令 dx d x 则所有R”中微分形式恰好形成一个 Grassmann代数Gn按Gn的结构,R"中的微分形式 分为n+1个不同阶的微分形式,分别称为0-形式1-形式,…,n-形式它们的基本形式分 别为 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 c d c d e e c d c d e e c d c d e e c e c e c e d e d e d e ? ? ? ? = - + - + - + + + + 如果有三个元素 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a e + a e + a e , b e + b e + b e 和 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e , 它们三者的外 积 ( ) ( ) ( ) . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 e e e c c c b b b a a a a e a e a e b e b e b e c e c e c e ? ? ? ? = + + + + + + 例 2: Gn中有基向量 n 2 个, 分阶表示为 维 维 维 维 1 1 : : , , , : , , , :1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n n C e e e e e e e e e e e e n ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 每个子空间 k L （称为k 阶元素）维数为 k Cn , 总维数为 n n k k Cn 2 0 å = = . 显然有 l k +l L ? L Ì L k , 即k 阶元素与l 阶元素的外积是k +l 阶元素, 如果k + l > n 时, 外积为 0. Gn是个非交换、不可除但结合的代数, 也称为外代数. 1.2 n R 中微分形式 在 n R 的微分学中, 我们有n 个基本一阶微分元素dx dxn , , 1 L . 令 n n dx = e ,dx = e , ,dx = e 1 1 2 2 L , 则所有 n R 中微分形式恰好形成一个 Grassmann 代数Gn . 按Gn的结构, n R 中的微分形式 分为n +1个不同阶的微分形式, 分别称为 0-形式, 1-形式, L, n -形式. 它们的基本形式分 别为