*第九章 Grassmann代数与微分形式 上一章多重积分中,面积和体积微元是有方向性的,即与坐标顺序有关,但表达式 dxdy等并不反映它的方向性.在作变量替换时dxdh=(x,y 要出现一个 Jacobi行 a(,v) 列式,这显然也不能从通常的实数乘法推导出来这一章我们将用 Grassmann代数工具将这 乘法讲清楚.事实上面积微元dxdy应该用 grassmann代数中乘法(外积)来定义d?dy, 这样既解决了方向性问题:的?x=-dx?d,又能很自然地推出变量替换时的公式在 更高维数时它也适用 §7.1 Grassmann代数与微分形式 1.1 Grassmann代数 在n维线性空间中取定一组基g2…en},对任何两个向量x=xe1+…+x,en和 y=y1e+…+yen,我们定义一个乘法x?y,将n维线性空间扩张为一个代数为此我 们只要规定好基向量之间的乘法,它们由下面定义 1)e;?e1=0,i=1,2…,n 2)e?(e?ek)=(e?e)?ek;(结合律) 3)e1?…?en≠0,(非退化) 4)e?e,=-e?e;(非交换) 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数,称为 Grassmann代数,记为Gn 例1:G3中有基元素 e1,e2,e3 e1?e2,e1?e3,e2?e3 le,?e,? 它是23=8维的比如其中有两个元素c1e1+c2e2+c3e3和d1e1+d2e2+d3e3,它们的外 积1 *第九章 Grassmann 代数与微分形式 上一章多重积分中, 面积和体积微元是有方向性的, 即与坐标顺序有关, 但表达式 dxdy 等并不反映它的方向性. 在作变量替换时 dudv u v x y dxdy ( , ) ( , ) ¶ ¶ = , 要出现一个 Jacobi行 列式, 这显然也不能从通常的实数乘法推导出来. 这一章我们将用 Grassmann 代数工具将这 一乘法讲清楚. 事实上面积微元dxdy 应该用 Grassmann 代数中乘法（外积）来定义dx? dy , 这样既解决了方向性问题: dy? dx = -dx? dy , 又能很自然地推出变量替换时的公式. 在 更高维数时它也适用. §7.1 Grassmann 代数与微分形式 1.1 Grassmann 代数 在 n 维线性空间中取定一组基 {e1 ,L, en }, 对任何两个向量 n n x = x e +L + x e 1 1 和 n n y = y e +L+ y e 1 1 , 我们定义一个乘法 x? y , 将n 维线性空间扩张为一个代数. 为此我 们只要规定好基向量之间的乘法, 它们由下面定义 1）e e 0, i 1,2, ,n; i ? i = = L 2） ( ) ( ; i j k i j k e ? e ? e = e ? e )? e （结合律） 3） 0; e1?L?en ¹ （非退化） 4） ; i j j i e ? e = -e ? e （非交换） 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数, 称为 Grassmann 代数, 记为Gn . 例 1: G3 中有基元素 ï ï î ï ï í ì . , , , , 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 e e e e e e e e e e e e ? ? ? ? ? 它是 2 8 3 = 维的. 比如其中有两个元素 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e 和 1 1 2 2 3 3 d e + d e + d e , 它们的外 积