例1数域P上的一元多项式环P[x]按多项式的加法与数乘作成一个P上的线性空间 例2数域P上的全体m×n矩阵，按矩阵的加法与数乘作成P上的线性空间，记为P 例3全体实函数按函数的加法与数乘作成R上的线性空间. 下面证明线性空间的一些简单性质 1.零元素唯 假设0,02∈'均为零元素则由零元素的定义有 0=0+02=02 2负元素唯 设B,y均为α的负元素，则 B=B+o=B+(a+y=(B+a)+y=(a+B)+y=0+Y=Y 根据此性质，a∈V的唯一的负元素记为-a.并且由此可定义V中减法，如下 a-B=a+(-B). 3.0a=o,ko=o,(-1)a=-. o.a=o.a+a-a=oa+la-a=(0+l)a-a=la-aa=a-a=0 (-1)a+a=(-1+10a=0d=0→-la=-a. ko=k(a-a)=ka+k(-a)=ka+k(-1)a=ka+(-1)(ka)=ka+(-(ka))=0. 4如果ka=0,则k=0或者a=0 假设k≠0，一方面 k(ka)=ko=o 另一方面 k(ka)=(kk)a=la=a 故有a=0. 例4.令V=R*(全体正实数).P=R.对Va,B∈P,k∈P,规定 加法：a⊕B=aB,数量乘法k⊙a=a:则V是P上的线性空间 事实上，易知田是V的元素间的运算⊙是V与P的元素间的运算且⊕显然满足定义中)与 2).⊙显然满足定义中5)-8)，下面确定'中的零元素设8为V中零元素则由零元素定义及⊕的规 定有 0⊕a=a=a→0=1.例1 数域 P 上的一元多项式环 P x .按多项式的加法与数乘作成一个 P 上的线性空间. 例2 数域 P 上的全体 m n 矩阵,按矩阵的加法与数乘作成 P 上的线性空间,记为 m n P  例3 全体实函数,按函数的加法与数乘作成 R 上的线性空间. 下面证明线性空间的一些简单性质 1.零元素唯一 假设 1 2  , V 均为零元素.则由零元素的定义有 1 1 2 2     = + = . 2.负元素唯一 设  , 均为  的负元素,则                = + = + + = + + = + + = + = ( ) ( ) ( ) . 根据此性质, V 的唯一的负元素记为− .并且由此可定义 V 中减法,如下:     − = + −( ). 3.         = = − = − ; ;( 1) . k                 =  + − = + − = + − = − = − = 1 (0 1) 1 0. ( 1) ( 1 1) 1 . − + = − + =  =  − = −         k k k k k k k k k k            = − = +  − = + − = + − = + − = ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ( )) 0. 4.如果 k = 0,则 k = 0 或者  = 0. 假设 k  0,一方面 1 1 k k k ( )    − − = = 另一方面 1 1 k k k k ( ) ( ) 1 .     − − = = = 故有  = 0. 例 4.令 V R+ = (全体正实数). P R = .对      , , V k P ,规定. 加法:     = ,数量乘法 k k  = :则 V 是 P 上的线性空间. 事实上,易知  是 V 的元素间的运算. 是 V 与 P 的元素间的运算且  显然满足定义中 1)与 2). 显然满足定义中 5)-8).下面确定 V 中的零元素.设  为 V 中零元素.则由零元素定义及  的规 定有       = =  =1