第六章线性空间 §1线性空间的定义与简单性质 教学目标掌握线性空间的定义与简单性质。 教学重点：线性空间的定义与简单性质。 教学方法讲授法 教学过程 例在第三章中，我们已讨论过，n维向量空间可有加法和数乘两种运算并且它们各分别满足4 条基本算律，同样，在第四章中，我们也已看到，对数域P上的m×(m,n给定)矩阵，也可引入加法与数 乘两种运算.且也有入条基本算律 可以举出很多，它们的背景多种多样，但有一个共同的特点就是都有加法种数乘两种 乙算产韩入基本算律为了把它们院一起来进行研究视久线性空间的醒 定义1设V是一个非空集合，P是一个数域.V的元素间有一个加法运算，V的元素与P的 元素间有一个数乘运算，即对a,BeVk=P.存在唯一R的y∈v的与唯一的o∈V使 y=+B,。=ka,如果上述加法与数乘满足下列算律，则称V为P上的线性空间 1.a+B=B+a; 2.(a+B)+y=a+(B+Y）方 3.oEV使得对a∈V有a+o=a(此元素o称为零元素)， 4.对每个a∈V,都有BeV,使a+B=o(B称为的负元素)： 5.la =a; 6.k(la)=(kl)a 7.(k+=k+la: 8.k(a+B)=ka+kB. 这里,B,y表示V中任意元素，表示P中任意数 由定义；数域P上的n维向量空间是线性空间，记为P 第六章 线性空间 §1 线性空间的定义与简单性质 教学目标: 掌握线性空间的定义与简单性质. 教学重点: 线性空间的定义与简单性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 例 在第三章中，我们已讨论过， n 维向量空间可有加法和数乘两种运算.并且它们各分别满足 4 条基本算律,同样,在第四章中,我们也已看到,对数域 P 上的 m n ( m n, 给定)矩阵,也可引入加法与数 乘两种运算.且也有入条基本算律. 这种例子还可以举出很多,它们的背景多种多样,但有一个共同的特点,就是都有加法种数乘两种 运算且有入条基本算律.为了把它们统一起来进行研究.我们引入线性空间的概念. 定义 1 设 V 是一个非空集合, P 是一个数域. V 的元素间有一个加法运算, V 的元素与 P 的 元素间有一个数乘运算, 即对    , V  = k P . 存在唯一 R 的  v 的与唯一的  V . 使      = + = , k ,如果上述加法与数乘满足下列算律,则称 V 为 P 上的线性空间: 1.     + = + ; 2. ( ) ( );       + + = + + 3.   V 使得对   V 有    + = (此元素  称为零元素); 4.对每个  V ,都有  V ,使    + = (  称为的负元素); 5. 1 ;  = 6. k l kl ( ) ( ) ;   = 7. ( ) ; k l k l + = +    8. k k k ( ) ,     + = + 这里    , , 表示 V 中任意元素, kl 表示 P 中任意数. 由定义;数域 P 上的 n 维向量空间是线性空间,记为 . n P